2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程学案 新人教A版选修2-1

-1-2.1曲线与方程学习目标核心素养1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)1.通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养.2.借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养.1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.2．求曲线方程的步骤-2-1．下列结论正确的个数为()(1)过点A(3，0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1，0)，C(－1，0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0.A．1B．2C．3D．4A[(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上B[将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]3．方程x2＋xy＝x的曲线是()A．一个点B．一个点和一条直线C．一条直线D．两条直线D[方程可化为x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0.因此方程的曲线是两条直线．]4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1，2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝3，则点P的轨迹方程为________．x－2y＋3＝0[由题意OP→＝(x，y)，OA→＝(－1，2)，则OP→·OA→＝－x＋2y.由OP→·OA→＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0.]曲线与方程的概念【例1】(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命-3-题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A(2，0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；③第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．(1)B[根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错．](2)解：①过点A(2，0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2，0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2，0)平行于y轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．1．(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么()A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0C[根据曲线的方程的定义知，选C.](2)已知方程x2＋(y－1)2＝10.①判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；-4-②若点Mm2，－m在此方程表示的曲线上，求实数m的值．[解]①因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(2，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．②因为点Mm2，－m在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，所以x＝m2，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，即m22＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－185.故实数m的值为2或－185.用直接法(定义法)求曲线方程[探究问题]1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？[提示]只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？[提示]根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．【例2】在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．思路探究：以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．[解]法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，-5-所以(（x＋a）2＋y2)2＋(（x－a）2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一．因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．1．若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．”如何求解？[解]设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2（x－2）2＋（y－0）2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.2.若本例题改为“已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程”．如何求解？[解]如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为12，0.∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点M12，0为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得x－122＋y2＝14(0x≤1)．1．直接法求曲线方程直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．2．定义法求曲线方程如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．-6-代入法求轨迹方程【例3】已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ→＝OM→＋ON→，求动点Q的轨迹方程．[解]设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ→＝OM→＋ON→，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝y2.又点M在圆C上，所以x20＋y20＝4，即x2＋y24＝4.所以，动点Q的轨迹方程是x24＋y216＝1.代入法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．2．已知△ABC，A(－2，0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．[解]设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式得x＝－2＋0＋x13，y＝0－2＋y13，∴x1＝3x＋2，y1＝3y＋2.代入y1＝3x21－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1.∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．-7-3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．1．若点M(m，m)在曲线x－y2＝0上，则m的值为()A．0B．1C．－1或0D．0或1D[由题意知m－m2＝0，解得m＝0或m＝1，故选D.]2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()C[当x＞0时，方程为xy＝1，∴y＞0，故在第一象限有一支图象；当x＜0时，方程为－xy＝1，∴y＞0，故在第二象限有一支图象．]3．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－3，0)，B(3，0)，顶点C的轨迹是()A．一条直线B．一条直线去掉一点C．一个点D．两个点B[由题意知|AC|＝|BC|，则顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(除去线段AB的中点)，故选B.]4．动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－12，求动点M的轨迹方程．[解]如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA＝yx＋a，kMB＝yx－a(x≠±a)．∵kMA·kMB＝－12，-8-∴yx＋a·yx－a＝－12，化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a)．