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-1-2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养.2.借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养.1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca1渐近线y＝±baxy＝±abx思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．(2)等轴双曲线-2-实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝2．1．双曲线x216－y2＝1的顶点坐标是()A．(4，0)，(0，1)B．(－4，0)，(4，0)C．(0，1)，(0，－1)D．(－4，0)，(0，－1)B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4，0)，(4，0)．]2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m＝()A．1B．2C．3D．4D[方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为y219－x21m2＝1(m＞0)，则a＝13，b＝1m，取顶点0，13，一条渐近线为mx－3y＝0，所以15＝－3×13m2＋9，则m2＋9＝25.∵m＞0，∴m＝4.]3．若双曲线x24－y2m＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±32x，则双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±m2x，∴m＝3，求得双曲线方程为x24－y23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．已知点(2，3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．2[由题意知4a2－9b2＝1，c2＝a2＋b2＝4，得a＝1，b＝3，∴e＝2.]根据双曲线方程研究几何性质【例1】(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)过点(2，22)，过点(0，－2)的直-3-线l与双曲线C的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C的实轴长为()A．2B．22C．4D．42(2)求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．(1)A[双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，则点(0，－2)到渐近线bx－ay＝0(或bx＋ay＝0)的距离d＝|2a|a2＋b2＝2ac＝23，得c＝3a，即b＝22a.由双曲线C过点(2，22)，可得2a2－88a2＝1，解得a＝1，故双曲线C的实轴长为2a＝2.](2)把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程x2m－y2n＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)，离心率e＝ca＝m＋nm＝1＋nm.顶点坐标为(－m，0)，(m，0)．所以渐近线的方程为y＝±nmx＝±mnmx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．提醒：求性质时一定要注意焦点的位置．1．(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1-4-C.y24－x2＝1D．y2－x24＝1C[A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令y24－x2＝0，得y＝±2x；令y2－x24＝0，得y＝±12x.故选C.](2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±12xD．y＝±22xB[在双曲线中，离心率e＝ca＝1＋ba2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±2x.]利用几何性质求双曲线方程【例2】(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为_________．思路探究：(1)△OAF是边长为2的等边三角形⇒求c和点A的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a，b.(2)法一：分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．法二：待定系数法求解．(1)D(2)y28－x232＝1[(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，3)，所以ba＝3，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－y23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为：-5-x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则ba＝12.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以4a2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③因为点A(2，－3)在双曲线上，所以9a2－4b2＝1.④联立③④，解得a2＝8，b2＝32.故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线的方程为x222－y2＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在双曲线上，所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.]1.由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y＝±nmx的双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A0，B0)．(2)与双曲线x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ或y2a2－x2b2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ0)或y2a2－-6-x2b2＝λ(λ0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)；(2)与双曲线y24－x23＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2，0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等．[解](1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.(2)设所求双曲线方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x26－y28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为x264－y216＝λ(λ0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为y264－x216＝λ(λ0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－140(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.求双曲线的离心率【例3】(1)若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53-7-(2)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2思路探究：(1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率．(2)由已知条件画图⇒点M的坐标⇒代入双曲线方程．(1)D(2)D[(1)由题意知ba＝43，则e2＝1＋b2a2＝259，所以e＝53.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝3a，所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1，得a＝b，所以e＝2.故选D.]求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e＝ca得解．(2)若已知a，b，可直接利用e＝1＋ba2得解．(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．3．(1)(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.2B.3C．2D.5-8-[答案]A(2)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．2＋3[如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入x2a2－y2b2＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－3b)，此时kPF2＝3bc－2a＝ba，得到c＝(2＋3)a，即双曲线C的离心率e＝ca＝2＋3.]直线与双曲线的位置关系[探究问题]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0，2)和双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有几条？[提示]四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．【例4】已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组y＝kx－1，x2－y2＝1，消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，则1－k2≠0，Δ＝4k2＋8（1－k2）＞0，-9-解得－2＜k＜2，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·－2k1－k22＋81－k2＝（1＋k2）（8－4k2）（1－k2）2.又∵