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-1-1.2.1“且”与“或”学习目标核心素养1.了解联结词“且”与“或”的含义．(重点)2．会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题．(难点、易混点)3．能够判断命题“p且q”“p或q”的真假．(重点)1.通过含有“且”“或”命题的理解，培养学生的数学抽象素养．2．根据命题的真假求参数的范围，提升学生的逻辑推理素养.1．用逻辑联结词构成新命题构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p∧qp且q用联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题p∨qp或q思考1：观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“且”的含义？[提示]命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，表示“并且”“同时”的意思．“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既…，又…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”“与”代替．思考2：观察三个命题：①32；②3＝2；③3≥2，它们之间有什么关系？从集合的角度如何理解“或”的含义？[提示]命题③是将命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．“或”从集合的角度看，可设A＝{x|x满足命题p}，B＝{x|x满足命题q}，则“p∨q”对应于集合中的并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．“或”作为逻辑联结词，与日常用语中的“或”意义有所不同，而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．“p或q”有三层意思：要么只是p，要么只是q，要么是p和q，即两者中至少要有一个．2．含逻辑联结词的命题真假的判断pqp∧qp∨q真真真真真假假真-2-假真假真假假假假思考3：若p且q为真命题，那么p或q一定为真命题吗？反之是否成立？[提示]p且q为真命题，说明p真、q真，故p或q一定是真命题．反之不一定成立，即若p或q为真命题，p且q不一定为真命题，比如p真q假时，p或q真，但p且q假．1．下列命题是“p∨q”形式的是()A．6≥6B．3是奇数且3是质数C.2是无理数D．3是6和9的约数A[6≥6⇔6＞6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题；C不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，故选A.]2．下列命题中既是“p∧q”形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形D[有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形，既是“p∧q”形式的命题，又是真命题．]3．已知p：正方形的对角线相等，q：20是3的倍数，则p∨q()A．是真命题B．是假命题C．有可能是真命题D．不一定是假命题A[正方形的对角线相等，所以命题p是真命题，所以p∨q是真命题．]含有“且”“或”命题的构成【例1】分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题：(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：N⊆Z，q：{0}⊆N；(3)p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；(4)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等．-3-[解](1)p∧q：2是无理数且大于1，p∨q：2是无理数或大于1.(2)p∧q：N⊆Z且{0}⊆N，p∨q：N⊆Z或{0}⊆N.(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，p∨q：35是15的倍数或是7的倍数．(4)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.1．指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形．[解](1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．含有逻辑联结词的命题真假判断【例2】分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”形式的命题的真假．(1)p：66，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2＜0无解；(4)p：函数y＝cosx是周期函数，q：函数y＝cosx是奇函数．-4-[思路探究]判断p，q的真假→利用真值表判断“p∧q”“p∨q”的真假[解](1)∵p为假命题，q为真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤1逐一判断命题p，q的真假.2根据“且”和“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假.p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真.2．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．(1)p：3是无理数，q：π不是无理数；(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．[解](1)∵p真q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假．(2)∵p真q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真．(3)∵p假q假，∴“p或q”为假，“p且q”为假．根据命题的真假求参数范围[探究问题]1．逻辑联结词“且”与集合中的哪种运算对应？与电学中的电路又有什么关系？[提示](1)对于逻辑联结词“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，二者含义是一致的，都表示“既……，又……”的意思．-5-(2)对于含有逻辑联结词“且”的命题真假的判断，可以联系电路中两个串联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图所示)．2．逻辑联结词“或”与集合中的哪种运算对应？与电学中的电路又有什么关系？[提示](1)对于逻辑联结词“或”的理解，可联系集合中“并集”的概念，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，二者含义是一致的，如果p：集合A；q：集合B；则p∨q：集合A∪B.“或”包含三个方面：x∈A且xB，xA且x∈B，x∈A∩B.(2)对于含有逻辑联结词“或”的命题真假的判断，可以联系电路中两个并联开关的闭合或断开与电路的通或断的对应加以理解(如图所示)．【例3】设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．[思路探究]首先求出命题p，命题q所满足的条件，根据p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p，q为一真一假，再分类讨论求出a的范围．[解]对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4＜0.解这个不等式得：－3a1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋11，所以a0.又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时有－3a≤0，当p假q真时有a≥1.综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．1．(变换条件)本例中将“p∧q”为假命题改为“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．[解]由“p∧q”为真命题知p，q均为真命题，由－3＜a＜1，a＞0，得0＜a＜1.-6-故a的取值范围是(0,1)．2．(变换条件)本例中将“p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅”改为“p：方程x2－(a＋1)x＋1＝0有两不相等的实数根”，求a的取值范围．[解]由方程x2－(a＋1)x＋1＝0有两不相等的实数根，得Δ＝[－(a＋1)]2－4＞0，解得a＜－3或a＞1.由p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时，a＜－3，当p假q真时，0＜a≤1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－3)∪(0,1]．解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想.提醒：求解时要注意区间端点值的检验.1．思考辨析(1)p与q同真，则p∧q为真；p与q有一假，则p∧q为假．()(2)p与q有一真，则p∨q为真；p与q同假，则p∨q为假．()(3)命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，使用了逻辑联结词“且”．()[提示](1)√(2)√(3)דx＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”．2．已知命题p：对顶角相等，命题q：27是3的倍数，则p∧q表示()A．对顶角相等或27是3的倍数B．对顶角相等C．27是3的倍数D．对顶角相等且27是3的倍数D[p∧q表示对顶角相等且27是3的倍数．]3．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题-7-C[p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题；p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，同时满足，则p，q只有一个为真命题，故选C.]4．有以下四个命题：(1)直线a平行于直线b；(2)直线a平行于直线b或直线a平行于直线c；(3)直线a平行于直线b且直线a平行于直线c；(4)a2＋1≥1.其中是“p∨q”形式的命题的序号为________，“p∧q”形式的命题的序号为________．(2)(4)(3)[(1)是简单命题；(2)是p∨q形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(3)是p∧q的形式，其中p：直线a平行于直线b；q：直线a平行于直线c；(4)是p∨q形式，其中p：a2＋1＞1，q：a2＋1＝1.]5．对命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；q：2是集合{x|x2a}中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？[解]若p为真，则1∈{x|x2＜a}，所以12a，即a1；若q为真，则2∈{x|x2＜a}，即a4.若“p或q”为真，则a1或a4，即a1；若“p且q”为真，则a1且a4，即a4.