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-1-1.2.2“非”(否定)学习目标核心素养1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“p”命题．(重点)2．了解逻辑联结词“非”的初步应用．3．掌握全称命题与存在性命题的否定．(难点、易混点)1.通过对逻辑联结词“非”的理解，培养学生的数学抽象素养．2．通过对命题的否定，提升学生的逻辑推理素养.1．逻辑联结词“非”(1)命题的否定：一般地，对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”．(2)命题p的真假：若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则﹁p必是真命题．思考1：p：“若a1，则f(x)＝ax是增函数”，﹁p应怎样表述？[提示]命题p的否定为非p(﹁p)，即保留原命题条件，否定其结论，即﹁p应表达为：“若a1，则f(x)＝ax不是增函数”2．全称命题的否定全称命题p﹁p结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)全称命题的否定是存在性命题思考2：用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？[提示]不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．3．存在性命题的否定存在性命题p﹁p结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁p(x)存在性命题的否定是全称命题思考3：对省略量词的命题怎样否定？[提示]对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．1．命题“平行线不相交”中()-2-A．没有使用任何一种逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“非”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“且”B[“平行线不相交”表示平行线相交的否定，使用了逻辑联结词“非”，故选B.]2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：32，则下列判断正确的是()A．“p或q”为假，“非q”为假B．“p或q”为真，“非q”为假C．“p且q”为假，“非p”为假D．“p且q”为真，“p或q”为假B[显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故选B.]3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}．由他们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个A[容易判断命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1,2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，﹁p是假命题，故选A.]4．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否定为________．[答案]若a＜b，则2a≥2b“﹁p”命题的构成与真假判断【例1】写出下列命题的否定，并判断真假．(1)若x，y是奇数，则x＋y是偶数；(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数；(4)若两个角是对顶角，则这两个角相等．[思路探究]明确命题的条件和结论→对命题的结论进行否定→判断真假[解](1)若x，y是奇数，则x＋y不是偶数，假命题．(2)若xy＝0，则x≠0且y≠0，假命题．(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，真命题．-3-(4)若两个角是对顶角，则这两个角不相等，假命题．(1)一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉，总结如下：正面词语等于(＝)大于()小于()有是都是全是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)无不是不都是不全是正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有n个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有n＋1个且(2)当命题p真假不易判断时，可以转化为去判断命题﹁p的真假，当命题﹁p为真时，命题p为假，当命题﹁p为假时，命题p为真．提醒：若命题p是真命题，则﹁p是假命题；若命题p是假命题，则﹁p是真命题．1．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：y＝sinx是周期函数；(2)p：32；(3)p：空集是集合A的子集；(4)一元二次方程至多有两个解．[解](1)﹁p：y＝sinx不是周期函数．命题p是真命题，﹁p是假命题．(2)﹁p：3≥2.命题p是假命题，﹁p是真命题．(3)﹁p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，﹁p是假命题．(4)﹁p：一元二次方程至少有三个解．命题p是真命题，﹁p是假命题．命题的否定的真假应用【例2】已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋10的解集为R，若“p∨q”与“﹁q”同时为真命题，求实数a的取值范围．[解]命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于-4-Δ＝4a2－4≥0，x1＋x2＞－2，x1＋1x2＋1＞0，⇔a2－1≥0，－2a＞－2，2－2a＞0，解得a≤－1.命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R，等价于a＝0或a＞0，Δ＜0.由于a＞0Δ＜0⇔a＞0，a2－4a＜0，解得0a4，所以0≤a4.因为“p∨q”与“﹁q”同时为真命题，即p真且q假，所以a≤－1，a＜0或a≥4，解得a≤－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1]．由真值表可判断p∨q、p∧q、﹁p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，﹁p命题的真假也可判断p、q的真假情况.一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数范围，再求其补集.2．已知命题p：|m＋1|≤2成立．命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若﹁p为假命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．[解]|m＋1|≤2⇒－2≤m＋1≤2⇒－3≤m≤1，即命题p：－3≤m≤1.方程x2－2mx＋1＝0有实数根⇒Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m≥1或m≤－1，即命题q：m≥1或m≤－1.因为p为假命题，p∧q为假命题，则p为真命题，所以q为假命题，﹁q：－1＜m＜1.由－3≤m≤1，－1＜m＜1，⇒－1＜m＜1.即m的取值范围是(－1,1)．全称命题和存在性命题的否定及应用-5-[探究问题]1．全称命题和存在性命题有什么关系？[提示](1)结构关系的认识①全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外.②存在性命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外．③两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．(2)真假性的认识全称命题的否定与全称命题的真假性相反；存在性命题的否定与存在性命题的真假性相反．2．全称命题与存在性命题的否定的关键是什么？[提示](1)全称命题的否定全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键．(2)存在性命题的否定存在性命题的否定是一个全称命题，给出存在性命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对存在性命题否定的关键．【例3】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对任意实数x，x2＋1≥0；(4)某些平行四边形是菱形；(5)∃x∈R,5x2＋1＜0；(6)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.[思路探究](1)全称命题的否定是存在性命题，否定全称命题时可分两步：第一步将全称量词“∀”改为存在量词“∃”，第二步将结论否定．(2)存在性命题的否定是全称命题，否定存在性命题时可分两步：第一步将存在量词“∃”改为全称量词“∀”，第二步将结论否定．[解](1)命题的否定是“有些自然数的平方不是正数”．因为0是自然数，所以为真命题．(2)命题的否定是“存在实数x不是方程5x－12＝0的根”．真命题．(3)命题的否定是“存在实数x，使得x2＋1＜0”．假命题．(4)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．-6-(5)命题的否定是“不存在x∈R，使5x2＋1＜0”，即“∀x∈R，5x2＋1≥0”.5x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(6)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．1．(变换条件)本例(4)改为“某些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假．[解]命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”，即“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题．2．(变换条件)本例(4)改为“某些菱形是平行四边形”，写出该命题的否定并判断真假．[解]命题的否定是“没有一个菱形是平行四边形”，即“每一个菱形都不是平行四边形”，由于菱形是平行四边形，所以该命题为假命题．1否定全称命题时，首先把全称量词改为存在量词，再对性质进行否定.否定存在性命题时，首先把存在量词换为全称量词，再对性质进行否定.2全称命题和存在性命题的真假性与其否定的真假性相反.提醒：全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.1．思考辨析(1)全称命题与存在性命题的否定只需否定其结论，无需改写量词．()(2)“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“∃x∈R，x2－2x＋1＜0”．()(3)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”．()[提示](1)×先更换量词(全称量词换为存在量词，存在量词改为全称量词)，再将结论否定．(2)√(3)√2．已知U＝R，A⊆U，B⊆U，命题p：2∈A∪B，则p是()A．2AB．2∈∁UBC．2∈A∩BD．2∈(∁UA)∩(∁UB)D[﹁p：2A∪B，即2∈(∁UA)∩(∁UB)，故选D.]-7-3．已知命题q：∀x∈R，x20，则()A．命题﹁q：∀x∈R，x2≤0B．命题﹁q：∀xR，x20C．命题﹁q：∃x∈R，x2≤0D．命题﹁q：∃x∈R，x20C[含有量词的命题否定首先改变量词，然后再对结论进行否定，即q：∃x∈R，x2≤0.]4．命题p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零，则﹁p：________，为________命题．(填“真”或“假”)若m2＋n2＝0，则m，n不全为零假[﹁p：若m2＋n2＝0，则m，n不全为零，为假命题．]5．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，若q0，则x2＋x－q＝0有实根；(2)q：等圆的面积相等且周长相等；(3)r：∃x∈R，x2＋6x＋10≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3－1＝0.[解](1)﹁p：∃x∈R，若q0，则x2＋x－q＝0无实根．(假)(2)﹁q：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．(假)(3)﹁r：∀x∈R，x2＋6x＋10＞0.(真)(4)﹁s：∀x∈R，x3－1≠0.(假)