2019-2020学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件、必要条件学案 新人

-1-1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标核心素养1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．(重点)2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(易混点)3．能够利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明．(重点、难点)1.通过对充分条件、必要条件的理解，培养学生的数学抽象素养．2．在充分、必要、充要条件的运用中提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．充分条件与必要条件(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．(2)若p⇒q，但q/⇒p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p/⇒q，称p是q的必要不充分条件．思考1：若p是q的充分条件，p是唯一的吗？[提示]不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x＞3是x＞0的充分条件，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分条件．2．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．思考2：若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？[提示]是．因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．]2．“x0”是“3x2＞0”成立的()-2-A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件A[x0显然能推出3x2＞0，而3x2＞0⇔|x|＞0⇔x≠0，不能推出x0，故选A.]3．已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“a－cb－d”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由a－cb－d变形为a－b＞c－d，因为cd，所以c－d0，所以a－b0，即ab，∴a－c＞b－d⇒a＞b.而ab并不能推出a－c＞b－d.所以ab是a－cb－d的必要不充分条件．故选B.]4．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[命题p：(x－1)(y－2)＝0⇒x＝1或y＝2.命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2.由q⇒p成立，而由p/⇒q成立．]充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】(1)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(3)(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面-3-(1)C(2)C(3)B[(1)设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ，若|a·b|＝|a||b|⇒cosθ＝±1，则向量a，b的夹角θ为0或π，即a∥b为真；若a∥b，则向量a，b的夹角θ为0或π，|a·b|＝|a||b|，所以“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件．特别地，当向量a或b为零向量时，上述结论也成立．故选C.(2)构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝x2，x≥0，－x2，x＜0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以a＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.故选C.]充分条件和必要条件的两种判断方法1定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；③确定条件p和结论q的关系.2集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A＝{x|px}，B＝{x|qx}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6；(3)在△ABC中，p：sinAsinB，q：tanAtanB.[解](1)在△ABC中，显然有∠A∠B⇔BCAC，所以p是q的充要条件．(2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，但x＋y＝8/⇒x＝2且y＝6，所以p是q的必要不充分条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p/⇒q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q/⇒p，所以p是q的既不充分也不必要条件．-4-充要条件的探求与证明【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.[思路探究]充分性：由q＝－1推出{an}是等比数列；必要性：由{an}是等比数列推出q＝－1.[证明](1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．∵p≠0且p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p，即数列{an}为等比数列．(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．∵p≠0且p≠1，∴an＋1an＝pnp－1pn－1p－1＝p.∵{an}为等比数列，∴a2a1＝p.∴pp－1p＋q＝p，∴q＝－1，即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面.但是，在表述中要注意两种句式的不同，分清充分性与必要性对应的关系.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立.而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立.提醒：在充分性与必要性分别进行证明的试题中，需要分清命题的条件是什么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明，即用等价转化法进行推理证明.-5-2．已知A，B是直线l上的任意两点，O是直线l外一点，求证：点P在直线l上的充要条件是OP→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，且x＋y＝1.[证明]①充分性：若点P满足OP→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，且x＋y＝1，消去y，得OP→＝xOA→＋(1－x)OB→＝x(OA→－OB→)＋OB→，∴OP→－OB→＝x(OA→－OB→)，即BP→＝xBA→.∴点P在直线AB上，即点P在直线l上．②必要性：设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，存在实数t，使得AP→＝tAB→＝t(OB→－OA→)，∴OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋tOB→－tOA→＝(1－t)OA→＋tOB→.令1－t＝x，t＝y，则OP→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，且x＋y＝1.利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)[探究问题]1．p是q的必要不充分条件的等价命题是什么？[提示]q是p的必要不充分条件．2．如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件？[提示]若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊆/B且B⊆/A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件-6-其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．[思路探究]解出集合P，把x∈P是x∈S的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．(变条件)本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．[解]若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑.注意推出的方向及推出与子集的关系.提醒：要注意区间端点值的检验.1．思考辨析(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(3)若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件．()[提示](1)√(2)√(3)√2．若α∈R，则“α＝0”是“sinα＜cosα”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件-7-C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[当α＝0时，sinα＝0，cosα＝1，∴sinα＜cosα；而当sinα＜cosα时，－3π4＋2kπ＜α＜π4＋2kπ，k∈Z，故“α＝0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．]3．设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件D[可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足ab，但不满足a2b2，即“ab”不能推出“a2b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2b2，但不满足ab，即“a2b2”不能推出“ab”．故选D.]4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．m＝－2[函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－m2，即－m2＝1，∴m＝－2.反之，当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.]5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①“x2且y3”是“x＋y5”的充要条件；②“A∩B≠∅”是“AB”的充分条件；③“b2－4ac0”是“ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为R”的充要条件；④“sinαsinβ”是“αβ”的充分条件；⑤“MN”是“log2Mlog2N”的充要条件．①②③④⑤[当x2且y3时，x＋y5成立，反之，例如x＝1，y＝5，x＋y5，但x2，故①为假命题；当A＝{1,3}，B＝{1,2}，A∩B＝{1}，但A⊆/B，故②为假命题；ax2＋bx＋c0的解集为R等价于a＜0，Δ＝b2－4ac＜0，故③为假命题；当0MN时，log2M，log2N无意义，故⑤为假命题．故填①②③④⑤.]6．已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：1x＜1y的充要条件是xy＞0.[证明]法一：(充分性)由xy＞0及x＞y，得xxy＞yxy，即1x＜1y.(必要性)由1x＜1y，得1x－1y＜0，即y－xxy＜0.因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.所以1x＜1y的充要条件是xy＞0.法二：1x＜1y⇔1x－1y＜0⇔y－xxy＜0.-8-由条件x＞y⇔y－x