2019-2020学年高中数学 第2章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法 第1课时 综合法及其

-1-第1课时综合法及其应用学习目标核心素养1．了解直接证明的基本方法——综合法，掌握其证明方法、步骤．(重点)2．理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．(难点、易混点)通过本节课的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.一、综合法1．定义综合法是从原因推导到结果的思维方法．具体地说，综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．综合法的推证过程命题的条件⇒结论A⇒结论B⇒…⇒命题的结论二、直接证明1．定义直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．2．直接证明的方法有：综合法与分析法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．()(2)综合法证明的依据是三段论．()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．()[解析](1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．[答案](1)√(2)√(3)√2．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝()A．2sinθB．2cosθ-2-C．sin2θD．cos2θ[解析]cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)·(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ[答案]D3．已知ab0，则①1a1b；②ac2bc2；③a2b2；④ab.其中正确的序号是__________．[解析]对于①，因为ab0，所以ab0，1ab0，a·1abb·1ab，即1b1a，故①正确；当c＝0时②不正确；由不等式的性质知③④正确．[答案]①③④用综合法证明三角问题【例1】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.(1)求证：A的大小为60°；(2)若sinB＋sinC＝3.证明：△ABC为等边三角形．[思路探究](1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求A.(2)结合(1)中A的大小利用三角恒等变形证明A＝B＝C＝60°.[解](1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)·sinC，得2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.∵0°A180°，所以A＝60°.(2)由A＋B＋C＝180°，得B＋C＝120°，由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，sinB＋(sin120°cosB－cos120°sinB)＝3，32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.因为0°B120°，-3-所以30°B＋30°150°，所以B＋30°＝90°，即B＝60°，所以A＝B＝C＝60°.即△ABC为等边三角形．证明三角等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．1．求证：3－2cos2α＝3tan2α＋1tan2α＋1.[证明]原式右边＝3tan2α＋1tan2α＋1＝1＋2sin2αcos2αsin2αcos2α＋1＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α)＝3－2cos2α＝左边．所以原式成立．用综合法证明几何问题【例2】如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.[思路探究](1)依据线面平行的判定定理，欲证明直线EF∥平面ACD，只需在平面ACD内找出一条直线和直线EF平行即可；(2)根据面面垂直的判定定理，欲证明平面EFC⊥平面BCD，只需在其中一个平面内找出一条另一个面的垂线即可．[解](1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，-4-又EF平面ACD，AD⊂平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.本题是综合运用已知条件和相关的空间位置关系的判定定理来证明的，故证明空间位置关系问题，也是综合法的一个典型应用.在证明过程中，语言转化是主旋律，转化途径为把符号语言转化为图形语言或文字语言转化为符号语言.这也是证明空间位置关系问题的一般模式.2.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝a，AB＝2a，E，F分别为C1D1，A1D1的中点．(1)求证：DE⊥平面BCE；(2)求证：AF∥平面BDE.[证明](1)∵BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，∴DE⊥BC.在△CDE中，CD＝2a，CE＝DE＝2a，则有CD2＝DE2＋CE2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC，又BC∩EC＝C，∴DE⊥平面BCE.(2)连接EF，A1C1，设AC交BD于O，连接EO(图略)，∵EF12A1C1，AO12A1C1，∴EFAO，∴四边形AOEF是平行四边形，∴AF∥OE.又∵OE⊂平面BDE，AF平面BDE，∴AF∥平面BDE.用综合法证明不等式问题[探究问题]综合法证明不等式的主要依据有哪些？[提示](1)a2≥0(a∈R)．(2)a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥a＋b22.-5-(3)a，b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，特别地，ba＋ab≥2.(4)a－b≥0⇔a≥b；a－b≤0⇔a≤b.(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.【例3】已知x0，y0，x＋y＝1，求证：1＋1x1＋1y≥9.[思路探究]解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法证明．[解]法一：因为x0，y0,1＝x＋y≥2xy，所以xy≤14.所以1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋1xy＝1＋x＋yxy＋1xy＝1＋2xy≥1＋8＝9.法二：因为1＝x＋y，所以1＋1x1＋1y＝1＋x＋yx1＋x＋yy＝2＋yx2＋xy＝5＋2xy＋yx.又因为x0，y0，所以xy＋yx≥2，当且仅当x＝y时，取“＝”．所以1＋1x1＋1y≥5＋2×2＝9.将上例条件不变，求证：1x＋1y≥4.[证明]法一：因为x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，所以x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时，取“＝”，所以xy≤12，即xy≤14，所以1x＋1y＝x＋yxy＝1xy≥4.法二：因为x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≥2xy0，当且仅当x＝y时，取“＝”，1x＋1y≥21xy0，当且仅当1x＝1y时，取“＝”．-6-所以(x＋y)1x＋1y≥4.又x＋y＝1，所以1x＋1y≥4.法三：因为x，y∈(0，＋∞)，所以1x＋1y＝x＋yx＋x＋yy＝1＋yx＋xy＋1≥2＋2xy·yx＝4，当且仅当x＝y时，取“＝”．综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．已知等差数列{an}中，a5＋a11＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64[解析]∵{an}为等差数列，∴a5＋a11＝a4＋a12.又∵a5＋a11＝16，a4＝1，∴a12＝15.[答案]A2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；若l⊥α，l∥m，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，④正确．[答案]B3．若a，b，c是常数，则“a0且b2－4ac0”是“ax2＋bx＋c0对任意x∈R恒成立”-7-的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为a0且b2－4ac0⇒ax2＋bx＋c0对任意x∈R恒成立．反之，ax2＋bx＋c0对任意x∈R恒成立不能推出a0且b2－4ac0，反例为：当a＝b＝0且c0时也有ax2＋bx＋c0对任意x∈R恒成立，所以“a0且b2－4ac0”是“ax2＋bx＋c0对任意实数x∈R恒成立”的充分不必要条件．[答案]A4．已知p＝a＋1a－2(a2)，q＝2－a2＋4a－2(a2)，则p与q的大小关系是________．[解析]p＝a－2＋1a－2＋2≥2a－2·1a－2＋2＝4，当且仅当a＝3时等号成立．－a2＋4a－2＝2－(a－2)22，∴q22＝4≤p.[答案]pq5．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1,2,3，…)．求证：(1)数列Snn为等比数列；(2)Sn＋1＝4an.[证明](1)∵an＋1＝n＋2nSn，而an＋1＝Sn＋1－Sn，∴n＋2nSn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝2n＋1nSn，∴Sn＋1n＋1Snn＝2，又∵a1＝1，∴S1＝1，∴S11＝1，-8-∴数列Snn是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知Snn的公比为2，而an＝n＋1n－1Sn－1(n≥2)，∴Sn＋1n＋1＝4Sn－1n－1＝4n－1·ann－1n＋1，∴Sn＋1＝4an.