2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的几何性质学案 新人教B版

-1-2.2.2双曲线的几何性质学习目标核心素养1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点)1.通过双曲线几何性质的学习，培养学生的直观想象素养.2.借助双曲线的性质的简单应用，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)性质图形焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abx思考1：能否用a，b表示双曲线的离心率？[提示]e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.思考2：离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？-2-[提示]有影响，因为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2，故当ba的值越大，渐近线y＝bax的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．2．等轴双曲线实轴和虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝2.1．若0ka，则双曲线x2a2－k2－y2b2＋k2＝1与x2a2－y2b2＝1有()A．相同的实轴B．相同的虚轴C．相同的焦点D．相同的渐近线C[∵0＜k＜a，∴a2－k2＞0.∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.]2．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B．x24－y2＝1C．x2－y22＝1D．x22－y2＝1A[由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－y24＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.]3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A．x24－y23＝1B．x29－y216＝1C．x216－y29＝1D．x23－y24＝1C[∵e＝ca＝54，F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为x216－y29＝1.]4．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为______．17或174[若双曲线焦点在x轴上，依题意得，ba＝4，∴b2a2＝16，即c2－a2a2＝16，∴e2＝17，e＝17.-3-若双曲线焦点在y轴上，依题意得，ab＝4.∴ba＝14，b2a2＝116，即c2－a2a2＝116.∴e2＝1716，故e＝174，即双曲线的离心率是17或174.]已知标准方程求其简单几何性质【例1】求双曲线nx2－my2＝mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解]把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n0)化为标准方程为x2m－y2n＝1(m＞0，n0)，由此可知，实半轴长a＝m，虚半轴长b＝n，c＝m＋n，焦点坐标为(m＋n，0)，(－m＋n，0)，离心率e＝ca＝m＋nm＝1＋nm，顶点坐标为(－m，0)，(m，0)，渐近线方程为y＝±nmx，即y＝±mnmx.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.2由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.3由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．-4-[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x.由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．[思路探究]分析双曲线的几何性质→求a，b，c→确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，ca＝54且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.(2)法一：当焦点在x轴上时，由ba＝32且a＝3，∴b＝92.∴所求双曲线方程为x29－4y281＝1.当焦点在y轴上时，由ab＝32且a＝3，∴b＝2.-5-∴所求双曲线方程为y29－x24＝1.法二：设以y＝±32x为渐近线的双曲线方程为x24－y29＝λ(λ≠0)，当λ0时，a2＝4λ，∴2a＝24λ＝6⇒λ＝94，当λ0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的方程为x29－4y281＝1和y29－x24＝1.(3)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y22－x24＝1.1根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程组，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.2巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为x2a2－y2b2＝1a0，b0.②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1a0，b0.③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1λ≠0，－b2＜λ＜a2，④与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λλ≠0.⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λλ≠0.⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λλ≠0.提醒：利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：-6-(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)．[解](1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又ca＝135，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为y225－x2144＝1.(2)∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则ba＝12.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴4a2－9b2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则ab＝12.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴9a2－4b2＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.直线与双曲线的位置关系【例3】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围．(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．[解]由y＝kx－1，x2－y2＝4，得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①(1)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根．∴1－k2≠0，Δ＝4k2＋201－k2＞0，解得－52，－1∪()－1，1∪1，52.-7-(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解．当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±52，故k的值为±1或±52.(3)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．∴1－k2≠0，Δ＝4k2＋201－k2＜0，解得k52或k－52，则k的取值范围为－∞，－52∪52，＋∞.研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组y＝kx＋m，①x2a2－y2b2＝1，②的解的个数进行判断.①代入②得b2－a2k2x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝－2a2mk2－4b2－a2k2－a2m2－a2b2.Δ0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交；Δ＝0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切；Δ0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.,通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角.如图①，θ＝α时，直线l只与双曲线一支相交，交点只有一个；如图②，θα时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；如图③，θα时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个．-8-3．(1)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点．①求双曲线的离心率e的取值范围；②设直线l与y轴的交点为P，且PA→＝512PB→，求a的值．(2)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－y24＝1只有一个公共点，试探究直线l的斜率k的取值．[解](1)①由x2a2－y2＝1，x＋y＝1，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，(*)由题意得1－a2≠0，4a4＋8a21－a2＞0，得0＜a＜2且a≠1.又双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1，∴e＞62且e≠2.故e的取值范围为62，2∪(2，＋∞)．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)，∵PA→＝512PB→，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)，故x1＝512x2.又x1，x2是方程(*)的两个根，∴1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2.消去x2，得－2a21－a2＝28960.又a＞0，∴a＝1713.-9-(2)设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.若4－k2＝0，即k＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k2≠0，则Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝52.综上可得，直线l的斜率k的取值为52或±2.与双曲线有关的综合问题[探究问题]1．直线与双曲线的弦长问题，应如何解答？[提示]设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2.涉及弦长的问题，常常设而不求．2．直线与双曲线相交，直线斜率与弦中点有何关系？[提示]设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1.两式相减可得y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝b2a2，即kAB·y0x0＝b2a2.【例4】斜率为2的直线l在双曲线x23－y22＝1上截得的弦长为6，求l的方程．[思路探究]设出直线