2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时

-1-3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学习目标核心素养1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度．(易混点)2.会求函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x)．(重点)3.会利用导数的定义求函数在f(x)的导函数f′(x)．(难点)1.由实际背景变化率到导数的概念，培养学生的数学抽象素养.2.通过利用定义求函数在某点处导数的学习提升学生的数学运算素养.1．函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1表示割线P1P2的斜率．思考1：观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1表示什么？[提示]ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．2．瞬时变化率(1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为ft0＋Δt－ft0Δt趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．-2-(2)函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率fx0＋Δx－fx0Δx趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率．3．函数在某一点处的导数与导函数(1)函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.思考2：f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？[提示]f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．1．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44B[由Δy＝f(Δx＋2)－f(2)＝(0.1＋2)2－4＝0.41，知选B.]2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2C[ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝21＋Δx2－2Δx＝4＋2Δx.]3．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若t＝2时刻的瞬时速度为12，则a的值为________．12[limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝a＝12]-3-函数的平均变化率【例1】(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx；②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解](1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.ΔyΔx＝2Δx2＋4x1＋3ΔxΔx＝2Δx＋4x1＋3.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.ΔyΔx＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.(2)在x＝1附近的平均变化率为k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为-4-k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.当Δx＝13时，k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1k2k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大．求平均变化率的主要步骤1先计算函数值的改变量Δy＝fx2－fx1；2再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；3得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.1．(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．(1)Δx(2)1234[(1)ΔyΔx＝f－1＋Δx－f－1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6Δx＝Δx.(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为f1－f－11－－1＝2－12＝12.由函数f(x)的图象知，-5-f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1＜x≤3.所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f2－f02－0＝3－322＝34.]导数的定义及求函数在某点处的导数【例2】(1)若limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝k，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx等于()A．2kB．kC．12kD．以上都不是(2)求函数y＝x在x＝1处的导数．[思路探究](1)严格按照导数定义推导求解．(2)(1)A[∵limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝k，∴limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝limΔx→02×fx0＋2Δx－fx02Δx，＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2k.](2)法一：(定义法)Δy＝1＋Δx－1，∴ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，∴当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx＝11＋Δx＋1趋近于12，即y＝x在x＝1处的导数是12.∴y′|x＝1＝12.法二：(求导函数的函数值法)-6-Δy＝x＋Δx－x＝Δxx＋Δx＋x，ΔyΔx＝1x＋Δx＋x，∴当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx＝1x＋Δx＋x趋近于12x，∴当x＝1时导函数值为12，即y′|x＝1＝12.1用导数定义求函数y＝fx在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量Δy＝fx0＋Δx－fx0；②求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；,③取极限，得导数f′x0＝limΔx→0ΔyΔx.2求函数在某点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算此点处的导数值.提醒：可以简记为：一差、二比、三极限.2．已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.[解]∵f′(x0)＝limΔx→03x0＋Δx2－3x20Δx＝limΔx→0(6x0＋3Δx)＝6x0，又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.求物体运动的瞬时速度[探究问题]1．平均变化率与瞬时变化率有什么联系？[提示]①区别：平均变化率刻画函数值在区间x1到x2这一段上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢．②联系：当Δx趋于0时，平均变化率ΔyΔx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．2．Δx趋近于0的含义是什么？[提示]Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.-7-3．导数与瞬时变化率有什么关系？提示：导数是函数在x0及其附近函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx之比的极限，它是一个局部性的概念，若limΔx→0ΔyΔx存在，则函数y＝f(x)在x0处有导数，否则不存在导数．【例3】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]求函数增量Δs→求ΔsΔt→求极限[解]∵ΔsΔt＝s1＋Δt－s1Δt＝1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1Δt＝3＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1s处的瞬时变化率为3，即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.1．(变结论)若本例条件不变，试求物体的初速度．[解]∵ΔsΔt＝s0＋Δt－s0Δt＝0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1Δt＝1＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2．(变结论)若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，∵ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt＝2t0＋1＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.-8-1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题.2求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝st0＋Δt－st0.②求平均速度v＝ΔsΔt.③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′t0.1．思考辨析(1)函数在某一点的导数与Δx的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()[提示](1)√(2)×(3)×2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为()A．2Δt＋4B．－2Δt－4C．4D．－2Δt2－4ΔtB[v＝4－21＋Δt2－4－2×12Δt＝－4Δt－2Δt2Δt＝－2Δt－4.]3．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，那么它在1.2s末的瞬时速度为()A．－0.88m/sB．0.88m/sC．－4.8m/sD．4.8m/sC[在1.2s时的瞬时速度即为s在t＝1.2处的导数，由于s′(t0)＝limΔt→02[1－t0＋Δt2]－21－t20Δt＝－4t0，所以s′(1.2)＝－4×1.2＝－4.8(m/s)．]4．当h无限趋近于0时，limh→03＋h2－32h＝________.-9-6[limh→03＋h2－32h＝limh→06h＋h2h＝limh→0(6＋h)＝6.]5．求函数y＝1x在x＝1处的导数．[解]Δy＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋Δx，ΔyΔx＝－11＋Δx，所以函数在x＝1处的导数limΔx→0－11＋Δx＝－1.