2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导

-1-3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表学习目标核心素养1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)通过利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数的学习，提升学生的数学运算素养.1．常数与幂函数的导数原函数导函数f(x)＝Cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1xf′(x)＝－1x22.基本初等函数的导数公式表原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xuf′(x)＝uxu－1(x＞0，u≠0)f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0，a≠1)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a＞0，a≠1，x＞0)f(x)＝lnxf′(x)＝1x1．下列结论：①(sinx)′＝cosx；②(x53)′＝x23；-2-③(log3x)′＝13lnx；④(lnx)′＝1x.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个C[∵②(x53)′＝53x23；③(log3x)＝1xln3；∴②③错误，故选C.]2．若函数f(x)＝x，则f′(1)等于()A．0B．－12C．12D．1C[∵f′(x)＝(x)′＝(x12)′＝12x12－1＝12x，∴f′(1)＝12，故选C.]3．曲线y＝sinx在π4，22处的切线方程为________．42x－8y＋2(4－π)＝0[∵k＝(sinx)′|x＝π4＝cosπ4＝22，∴切线方程为y－22＝22x－π4，即42x－8y＋2(4－π)＝0.]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝2sinx2cosx2；(5)y＝log12x.[思路探究]先将解析式化为基本初等函数的形式，再利用公式求导．[解](1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.-3-(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x35－1＝35x－25＝355x2.(4)∵y＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝cosx.(5)y′＝(log12x)′＝1xln12＝－1xln2.用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.提醒：若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.导数公式的综合应用[探究问题]1．若y＝c，y＝x和y＝x2都表示路程关于时间的函数，则其导数的物理意义是什么？提示：若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的速度始终为0，即物体一直处于静止状态；若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做速度为1的匀速运动；若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体做变速运动，它在x时刻的瞬时速度为2x.2．指数函数与对数函数的导数公式各具有什么特点？[提示](1)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数，y＝ex的导数是y＝ax(a0，a≠1)导数的特例．(2)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数，y＝lnx的导数是y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)导数的特例．【例2】已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．[思路探究]先求导数，再根据导数的几何意义求解．[解]因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．-4-设切点坐标为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，又切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－12，所以切点坐标为－12，14.所以所求切线方程为y－14＝(－1)x＋12，即4x＋4y＋1＝0.1．(变结论)若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解]因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0.又因为PQ的斜率为k＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝12.所以切点为M12，14，所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.2．(变条件)若函数改为y＝lnx，试求与直线PQ平行的切线方程．[解]设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，则由f′(a)＝1a＝1，得a＝1，故b＝ln1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：1切点处的导数是切线的斜率.2切点在切线上.3切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.-5-1．思考辨析(1)若函数f(x)＝log2π，则f′(x)＝1πln2.()(2)若函数f(x)＝3x，则f′(x)＝x·3x－1.()(3)若函数f(x)＝4x，则f′(x)＝4x2.()[提示](1)×π为常数．(2)×f′(x)＝3xln3.(3)×f′(x)＝－4x2.2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于()A．36B．0C．12xD．32A[∵f′(x)＝12x，∴f′(3)＝123＝36.]3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.1e[∵f′(x)＝1xlna，∴f′(1)＝1lna＝－1，∴a＝1e.]4．过曲线y＝sinx上的点Pπ6，12的切线方程为________．63x－12y－3π＋6＝0[曲线y＝sinx在点Pπ6，12处的切线斜率为k＝y′|x＝π6＝cosπ6＝32.所以切线方程为y－12＝32x－π6，即63x－12y－3π＋6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y＝cosπ6；(2)y＝1x5；(3)y＝x2x；(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.-6-[解](1)y′＝0.(2)∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－5x6.(3)∵y＝x2x＝x32.∵y′＝(x32)′＝32x12＝32x.(4)y′＝1xln10.(5)y′＝5xln5.(6)∵y＝cosπ2－x＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx．