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-1-3.2.1复数的加法和减法学习目标核心素养1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．(重点)2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．(难点、易混点)通过学习复数的加法和减法，培养学生的数学运算素养.一、复数代数形式的加减运算1．运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律交换律z1＋z2＝z2＋z1结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)二、复数加减法的几何意义1．复数加法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为OZ1→，OZ2→，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是OZ→.2．复数减法的几何意义如图所示，设OZ1→，OZ2→分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且OZ1→，OZ2→不共线，则这两个复数的差z1－z2与向量OZ1→－OZ2→(即Z2Z1→)对应，这就是复数减法的几何意义．这表明两个复数的差z1－z2(即OZ1→－OZ2→)与连接两个终点Z1，Z2，且指向被减数的向量对应．1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝()A．8iB．6-2-C．6＋8iD．6－8i[解析]z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.[答案]B2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]z＝z1－z2＝(2＋i)－(1＋2i)＝(2－1)＋(1－2)i＝1－i，对应的点为(1，－1)位于第四象限．[答案]D3．在复平面内，向量OZ1→对应的复数为－1－i，向量OZ2→对应的复数为1－i，则OZ1→＋OZ2→对应的复数为________．[解析]由复数加法运算的几何意义知，OZ1→＋OZ2→对应的复数即为(－1－i)＋(1－i)＝－2i.[答案]－2i复数的加减运算【例1】计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a＋bi)－(3a－4bi)＋5i(a，b∈R)．[思路探究]复数的加减运算，只需把“i”看作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．[解](1)原式＝(－1＋4i)＋(2－3i)＝1＋i.(2)原式＝(3－6i)＋(3＋4i)＝6－2i.(3)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(4)原式＝(－2a＋5bi)＋5i＝－2a＋(5b＋5)i.1．复数运算类比实数运算，若有括号，括号优先，若无括号，可从左到右依次进行．2．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加．3．准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率．-3-1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[解](1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i＝22i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.复数加减运算的几何意义【例2】设OZ1→及OZ2→分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出OZ1→＋OZ2→.[思路探究]利用加法法则求z1＋z2，利用复数的几何意义作出OZ1→＋OZ2→.[解]∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i.∵OZ1→＝(5,3)，OZ2→＝(4,1)，由复数的几何意义可知，OZ1→＋OZ2→与复数z1＋z2对应，∴OZ1→＋OZ2→＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4)，作出向量OZ1→＋OZ2→，如图所示．1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．2．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．3．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．2．复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量BA→对应的复数为1＋2i，向量BC→-4-对应的复数为3－i，求点C对应的复数．[解]∵BA→对应的复数为1＋2i，BC→对应的复数为3－i，∴AC→＝BC→－BA→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∵OC→＝OA→＋AC→，∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数加减法几何意义的综合应用[探究问题]1．|z1－z2|的几何意义是什么？[提示]|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．2．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么曲线？[提示]∵|z－i|＝|3＋4i|＝5，∴复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0,1)为圆心，5为半径的圆．【例3】已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．[思路探究]利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题．[解]法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆．如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.图(1)图(2)法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.-5-3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．[解析]由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.[答案]71．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋iB．1－iC．iD．－i[解析](1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.[答案]A2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵z＝z2－z1＝(1＋5i)－(3＋i)＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.[答案]B3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z()A．在实轴上B．在虚轴上C．在第一象限D．在第二象限[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得x＝0.[答案]B4．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC→对应的复数为________．[解析]∵BC→＝－(OA→－OC→＋AB→)，∴BC→对应的复数为－[(－2＋i)－(3＋2i)＋(1＋5i)]＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]＝－(－4＋4i)＝4－4i.-6-[答案]4－4i5．计算：(1)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2015－2016i)－(2016－2017i)．[解](1)(10－9i)＋(－8＋7i)－(3＋3i)＝(10－8－3)＋(－9＋7－3)i＝－1－5i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2015－2016)＋(－2＋3－4＋5－…－2016＋2017)i＝－1008＋1008i.