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-1-第2课时复数的几何意义学习目标核心素养1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)通过对复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象素养.一、复数的几何意义及复数的模1．复平面(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；(2)实轴：在复平面内，x轴叫做实轴，单位是1，实轴上的点都表示实数；(3)虚轴：在复平面内，y轴叫做虚轴，单位是i，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；(4)原点：原点(0,0)表示实数0.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――→一一对应复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―――→一一对应平面向量OZ→.为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量OZ→，并且规定，相等的向量表示同一个复数．3．复数的模向量OZ→的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，且|a＋bi|＝a2＋b2.二、共轭复数1．定义如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．2．表示复数z的共轭复数用z表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，则z＝a－bi.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)复数的模一定是正实数．()-2-(3)复数z1z2的充要条件是|z1||z2|.()[解析](1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．[答案](1)√(2)×(3)×2．复数z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)其中θ∈π，32π，则复数z在复平面上所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵θ∈π，32π，∴cosθ0且sinθ0，∴该复数所对应的点位于复平面上第三象限．[答案]C3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________，________.[解析]∵x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，∴x－2＝3x，y＝1，解得x＝－1，y＝1.[答案]－11复数与复平面内点的关系【例1】已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y2＝4x上．[思路探究]解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．[解]复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．(1)若z对应的点在实轴上，则有-3-2a－1＝0，解得a＝12.(2)若z对应的点在第三象限，则有a2－10，2a－10，解得－1a12.(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝54.复数集与复平面内所有的点组成的集合之间存在着一一对应关系.每一个复数都对应着一个有序实数对，复数的实部、虚部分别对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式)组.1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的值或取值范围．[解]复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得m2－m－20，m2－3m＋20，∴－1m2，m2或m1，∴－1m1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2.复数与向量的对应关系【例2】已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA→，OB→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，求向量BA→对应的复数．[思路探究]复数→求向量OA→，OB→的坐标→计算向量BA→的坐标→确定对应的复数-4-[解]向量OA→，OB→对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA→＝(2，－3)，OB→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA→＝OA→－OB→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA→对应的复数是5－5i.1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．2．在复平面内，O是原点，向量OA→对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB→对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．[解](1)设向量OB→对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)．根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.复数模的几何意义及应用[探究问题]1．若z∈C，则满足|z|＝2的点Z的集合是什么图形？[提示]因为|z|＝2，即|OZ→|＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．2．若z∈C，则满足2|z|3的点Z的集合是什么图形？[提示]不等式2|z|3可化为不等式组|z|2，|z|3，-5-不等式|z|2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．【例3】已知复数z1＝－3＋i，z2＝－12－32i.(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？[思路探究](1)利用复数模的定义来求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2.(2)先确定|z|的范围，再确定点Z满足的条件，从而确定点Z的图形．[解](1)|z1|＝－32＋12＝2.|z2|＝－122＋－322＝1.∵2＞1，∴|z1|＞|z2|.(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，则1≤|z|≤2.因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模均可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z1－z2|表示点Z1，Z2两点间的距离，|z|＝r表示以原点为圆心，以r为半径的圆．3．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|2，那么实数a的取值范围是________．-6-[解析]由|z|2知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z＝1＋ai知z对应的点在直线x＝1上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合，由图可知－3a3.[答案](－3，3)1．在复平面内，若OZ→＝(0，－5)，则OZ→对应的复数为()A．0B．－5C．－5iD．5[解析]OZ→对应的复数z＝0－5i＝－5i.[答案]C2．在复平面内，复数z＝sin2＋icos2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵π22π，∴sin20，cos20.故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限．[答案]D3．已知复数z＝2－3i，则复数的模|z|是()A．5B．8C．6D.11[解析]|z|＝22＋－32＝11.[答案]D4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．[解析]∵z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，∴3＝b，a＝－4，∴z＝－4＋3i，-7-∴|z|＝－42＋32＝5.[答案]55．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得，a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，∴a＋a2＋b2＝2，b＝8，解得a＝－15，b＝8.∴z＝－15＋8i.