2019-2020学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 2 绝对值不等式 2.绝对值不等式的解

-1-2.绝对值不等式的解法学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点)2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.(重点)3.能利用绝对值不等式解决实际问题．教材整理1绝对值不等式|x|a与|x|a的解集阅读教材P15～P15倒数第2行以上部分，完成下列问题．不等式a0a＝0a0|x|a{x|－axa}|x|a{x|xa或x－a}{x∈R|x≠0}R教材整理2|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法阅读教材P15～P17“探究”以上部分，完成下列问题．1．|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.2．|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.不等式|x＋1|＞3的解集是()A．{x|x＜－4或x＞2}B．{x|－4＜x＜2}C．{x|x＜－4或x≥2}D．{x|－4≤x＜2}A[由|x＋1|＞3，得x＋1＞3或x＋1＜－3，因此x＜－4或x＞2.]教材整理3|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法阅读教材P17～P19，完成下列问题．1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的解集为()A．(－3,2)B．(－1,3)C．(－4,1)D.－32，72C[|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1)．]-2-|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法【例1】求解下列不等式．(1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6.[精彩点拨]关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．[自主解答](1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6，即－5≤3x≤7，从而得－53≤x≤73，所以原不等式的解集是x－53≤x≤73.(2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1.所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．(3)法一由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6.∴－6＜x2－5x＜6.∴x2－5x＋6＞0，x2－5x－6＜0，∴x－2x－3＞0，x－6x＋1＜0，即x＜2或x＞3，－1＜x＜6.∴－1＜x＜2或3＜x＜6.∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．法二作函数y＝x2－5x的图象，如右图所示．|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6.解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3.即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．1．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.2．形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a.-3-(2)当a＝0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔|f(x)|≠0.(3)当a＜0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.[解](1)∵3＜|x＋2|≤4，∴3＜x＋2≤4或－4≤x＋2＜－3，即1＜x≤2或－6≤x＜－5，所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2或－6≤x＜－5}．(2)∵|5x－x2|≥6，∴5x－x2≥6或5x－x2≤－6，由5x－x2≥6，即x2－5x＋6≤0，∴2≤x≤3，由5x－x2≤－6，即x2－5x－6≥0，∴x≥6或x≤－1，所以原不等式的解集为{x|x≤－1或2≤x≤3或x≥6}.含参数的绝对值不等式的综合问题【例2】已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．[精彩点拨]解fx≤3，由集合相等，求a→求y＝fx＋fx＋5的最小值，确定m的取值范围[自主解答](1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以a－3＝－1，a＋3＝5，解得a＝2.(2)法一由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝－2x－1，x－3，5，－3≤x≤2，2x＋1，x2.利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.-4-因此g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，知实数m的取值范围是(－∞，5]．法二当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m恒成立，则实数m的取值范围是(－∞，5]．1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)m恒成立？[解](1)当m＝1时，原不等式可变为0|x＋3|－|x－7|10，可得其解集为{x|2x7}．(2)设t＝|x＋3|－|x－7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0t≤10，因y＝lgx在(0，＋∞)上为增函数，则lgt≤1，当t＝10，x≥7时，lgt＝1，故只需m1即可，即m1时，f(x)m恒成立.含两个绝对值的不等式的解法[探究问题]怎样解|x－a|＋|x－b|≤c和|x－a|＋|x－b|≥c型不等式？[提示]求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x－a|＋|x－b|＝c成立的x值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a，b为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x－a，x－b的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集．-5-【例3】(1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.[精彩点拨](1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．[自主解答](1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即6x＋3＞0，解得x＞－12，∴|x＋2|＞|x－1|的解集为xx＞－12.(2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－32.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－(－1)＝3.所以x＝32.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是－∞，－32∪32，＋∞.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)2.-6-[解](1)f(x)＝4，x≤4，12－2x，4x≤8，－4，x8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x－8|－|x－4|2，即f(x)2.由－2x＋12＝2，得x＝5，根据函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．1．不等式|x|·(1－2x)0的解集是()A．－∞，12B．(－∞，0)∪0，12C．12，＋∞D．0，12B[原不等式等价于x≠0，1－2x0，解得x12且x≠0，即x∈(－∞，0)∪0，12.]2．不等式|x2－2|＜2的解集是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－2,0)∪(0,2)D[由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．]3．不等式|x＋1||x＋2|≥1的实数解为________．[解析]|x＋1||x＋2|≥1⇔|x＋1|≥|x＋2|，且x＋2≠0.∴x≤－32且x≠－2.-7-[答案]xx≤－32且x≠－24．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．[解析]不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6⇔x－12＋x＋12≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，当－32≤x≤32时，不等式x－12＋x＋12≤3成立．[答案]－32，325．解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)．[解]若2m－1≤0，即m≤12，则|2x－1|＜2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1＞0，即m＞12，则－(2m－1)＜2x－1＜2m－1，所以1－m＜x＜m.综上所述：当m≤12时，原不等式的解集为，当m＞12时，原不等式的解集为{x|1－m＜x＜m}．