2019-2020学年高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 3 反证法与放缩法学案 新人教A版选修

-1-三反证法与放缩法学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点)教材整理1反证法阅读教材P26～P27“例2”及以上部分，完成下列问题．先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数C[假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．]教材整理2放缩法阅读教材P28～P29“习题”以上部分，完成下列问题．证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是()A．|a－b|＜2hB．|a－b|＞2hC．|a－b|＜hD．|a－b|＞hA[|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.]利用反证法证“至多”“至少”型命题【例1】已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；-2-(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.[精彩点拨](1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[自主解答](1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．[证明]a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.这与已知中ac＋bd＞1矛盾，∴原假设错误，故a，b，c，d中至少有一个是负数．即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式-3-【例2】已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1an＜32.[精彩点拨]针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．[自主解答]∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，∴1an＝12n2＜12nn－1＝12·1nn－1＝121n－1－1n，∴1a1＋1a2＋…＋1an＜1＋1211×2＋12×3＋…＋1nn－1＝1＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1＋121－1n＝32－12n＜32，即1a1＋1a2＋…＋1an＜32.1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．2．求证：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．[证明]∵k2＞k(k－1)，∴1k2＜1kk－1＝1k－1－1k(k∈N＋，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得122＜11·2＝1－12，132＜12·3＝12－13，…，1n2＜1nn－1＝1n－1－1n.因此1＋122＋132＋…＋1n2＜1＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n-4-＝1＋1－1n＝2－1n.故不等式1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋).利用反证法证明不等式[探究问题]1．反证法的一般步骤是什么？[提示]证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．2．反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？[提示]常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是【例3】已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.[精彩点拨]本题中的条件是三边间的关系2b＝1a＋1c，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．[自主解答]∵a，b，c的倒数成等差数列，∴2b＝1a＋1c.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0，b＞c＞0，∴1b＜1a，1b＜1c，∴2b＜1a＋1c，这与2b＝1a＋1c相矛盾．∴假设不成立，故∠B＜90°成立．1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实-5-或假设相矛盾的结论．3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.[证明]法一假设a＋b2，a2－ab＋b2＝a－12b2＋34b2≥0，故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，∴a2－ab＋b20.则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b21，∴1＋aba2＋b2≥2ab，从而ab1，∴a2＋b21＋ab2，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab2＋2ab4，∴a＋b2.这与假设矛盾，故a＋b≤2.法二假设a＋b2，则a2－b，故2＝a3＋b3(2－b)3＋b3，即28－12b＋6b2，即(b－1)20，这显然不成立，从而a＋b≤2.法三假设a＋b2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)8.由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)6，故ab(a＋b)2.又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，∴ab(a＋b)(a＋b)(a2－ab＋b2)，∴a2－ab＋b2ab，即(a－b)20.这显然不成立，故a＋b≤2.-6-1．实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0D[实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.]2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数D．abc＜0C[a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.]3．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是()A．综合法B．放缩法C．分析法D．反证法C[由分析法的证明过程可知选C.]4．A＝1＋12＋13＋…＋1n与n(n∈N＋)的大小关系是________．[解析]A＝11＋12＋13＋…＋1n≥＝nn＝n.[答案]A≥n5．若x，y都是正实数，且x＋y2.求证：1＋xy2和1＋yx2中至少有一个成立．[证明]假设1＋xy2和1＋yx2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x0且y0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y2矛盾，因此1＋xy2和1＋yx2中至少有一个成立．-7-