2019-2020学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 1 二维形式的柯西不等式学案 新人教

-1-一二维形式的柯西不等式学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2.通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)教材整理二维形式的柯西不等式阅读教材P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625B[2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)12＋13·65≥652x·22＋3y·332＝65(x＋y)2＝65.]二维柯西不等式的向量形式及应用【例1】已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.[精彩点拨]为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．＝p3＋q3·p＋q＝2p＋q.又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，-2-∴p＋q22≤p2＋q2≤2p＋q，∴p＋q22≤2·p＋q，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝x2＋y2对数学式子变形的影响．1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？[解]设m＝(p，q)，n＝(1,1)，则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝p2＋q2·12＋12.又p2＋q2＝2.∴p＋q≤2·2＝2.故仍有结论p＋q≤2成立.运用柯西不等式求最值【例2】若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．[精彩点拨]由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．[自主解答]由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥12，当且仅当2x×1＝3y×1，即x＝14，y＝16时取等号．∴4x2＋9y2的最小值为12.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．-3-2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．[解]由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.所以x2＋y2≥425，当且仅当x3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，∴x＝625，y＝825.因此，当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为625，825.二维柯西不等式代数形式的应用[探究问题]在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成ab＝cd吗？[提示]不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但ab＝cd不成立．【例3】已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.[精彩点拨]探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．[自主解答]由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥3x＋4y232＋42.又因为|3x＋4y|＝5，所以3x＋4y232＋42＝1，即x2＋y2≥1.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．-4-3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：a22－a＋b22－b≥2.[证明]根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]a22－a＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]a2－a2＋b2－b2≥2－a·a2－a＋2－b·b2－b2＝(a＋b)2＝4.∴a22－a＋b22－b≥42－a＋2－b＝2，当且仅当2－a·b2－b＝2－b·a2－a，即a＝b＝1时等号成立．∴a22－a＋b22－b≥2.1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为()A.13B．169C．13D．0C[(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.]2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是()A．26B.6-5-C．6D．12D[(4a＋1＋4b＋1)2＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b＋1＝4a＋1，即a＝b＝12时等号成立．故选D.]3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.[解析]|a|＝42＋－32＝5，且|b|＝1，∴a·b＝|a|·|b|，因此，b与a共线，且方向相同，∴b＝45，－35.[答案]45，－354．已知x，y＞0，1＋1x1＋1y的最小值为4，则xy＝________.[解析]∵1＋1x1＋1y≥1·1＋1xy2＝1＋1xy2，∴1＋1xy2＝4.又xy＞0，∴xy＝1，∴xy＝1.[答案]15．已知x，y，a，b∈R＋，且ax＋by＝1，求x＋y的最小值．[解]构造两组实数x，y；ax，by.∵x，y，a，b∈R＋，ax＋by＝1，∴x＋y＝[(x)2＋(y)2]ax2＋by2≥(a＋b)2，-6-当且仅当x∶ax＝y∶by，即xy＝ab时取等号，∴(x＋y)min＝(a＋b)2.