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-1-1.1.1算法的概念学习目标核心素养1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2．了解算法的含义和特征．(难点)3．会用自然语言表述简单的算法．(易错易混点)1.通过算法概念的理解，培养逻辑推理素养．2．借助算法的设计，养成数学建模素养.1．算法的概念12世纪的算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题思考：解决一个问题的算法是唯一的吗？[提示]不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分．2．算法的特征(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步骤操作之后停止．(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的．(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列．(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题．(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法．3．算法的设计目的计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．1．下列可以看成算法的是()A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适-2-当的练习题B．今天餐厅的饭真好吃C．这道数学题难做D．方程2x2－x＋1＝0无实数根A[A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]2．下列对算法的理解不正确的是()A．算法可以无止境地运行下去B．算法的步骤是不可逆的C．同一个问题可以有不同的算法D．算法中的每一步都应当有效地执行，并得到确定的结果A[A项中，由于算法具有有限性，因此不可能无止境地运行下去，不正确；B项中，算法中的步骤是按照顺序一步步进行下去的，因此是不可逆的，正确；C、D项符合算法的特征，正确．]3．下列问题中，不可以设计一个算法求解的是()A．二分法求方程x2－3＝0的近似解B．解方程组x＋y＋5＝0x－y＋3＝0C．求半径为3的圆的面积D．判断函数y＝x2在R上的单调性D[A、B、C选项中的问题都可以设计算法解决，D选项中的问题由于x在R上取值无穷尽，所以不能设计一个算法求解．]4．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．第一步，出家门．第二步，______________．第三步，坐火车去北京．[答案]打车去火车站算法的概念理解【例1】计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是()-3-①S＝12＋14＋18＋…＋12100；②S＝12＋14＋18＋…＋12100＋…；③S＝12＋14＋18＋…＋12n(n≥1且n∈N*)．A．①②B．①③C．②③D．①②③B[算法是用来求解一类问题的，在实际算法中n的值是具体确定的，算法会根据具体确定的n来求值计算，所以①③能设计算法．算法的步骤是有限的，即执行有限步后一定能解决问题，而②显然不符合有限性，所以②不能设计算法．]解答这类问题的方法为特征判断法主要从以下三个方面判断：(1)看是否满足可执行性；(2)看是否满足确定性；(3)看是否满足有限性．此外，算法的不唯一性也要考虑到．1．下列描述不能看作算法的是()A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．洗衣机的使用说明书C．解方程2x2＋x－1＝0D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42C[A、B、D项都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C项只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．]算法的阅读及应用【例2】下面给出了一个问题的算法：第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示．第二步，比较a与b的大小，如果ab，则交换a与b的值．第三步，比较a与c的大小，如果ac，则交换a与c的值．第四步，比较b与c的大小，如果bc，则交换b与c的值．第五步，输出a，b，c.-4-以上算法要解决的问题是________，如果输入的三个数分别是6，28，14，则输出三数的顺序为________．思路点拨：可尝试先赋a，b，c的值为6，28，14，用具体数值去执行算法步骤，从而得到启示．输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出28，14，6[法一：特殊值法：第一步，输入a＝6，b＝28，c＝14.第二步，因为ab，则令a＝28，b＝6.第三步，因为ac，不做变化．第四步，因为bc，故令b＝14，c＝6.第五步，输出28，14，6.通过上述过程可知，此算法解决的问题是：对任意输入的三个数a，b，c，按从大到小的顺序输出．法二：一般方法：第一步是给a，b，c赋值．第二步运行后ab.第三步运行后ac.第四步运行后bc，所以abc.第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．]算法作用的理解方法一个算法的作用往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下并从中得出规律．2．下面给出了一个问题的算法：第一步，输入三角形的底边长a，底边上的高h.第二步，计算S＝ah2.第三步，输出S.这个算法解决的问题是____________________________________________________________________________________________.[答案]已知三角形的底边长a，底边上的高为h，求这个三角形的面积-5-算法的设计[探究问题]假设家中生火烧水泡茶有以下几个步骤：a．生火；b.将凉水倒入锅中；c.找茶叶；d.洗茶壶、茶碗；e.用开水冲茶．1．你能说出在家中泡茶的步骤吗？[提示]b→a→c→d→e2．从上述例子分析，你能说出设计算法步骤的要求吗？[提示](1)算法必须要解决一类问题．(2)要保证算法步骤合理有效．(3)要使算法步骤尽量简洁实用．【例3】已知函数y＝－x2－1（x≤－1），x3（x－1），试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．思路点拨：已知条件→分段函数的解析式↓条件分析→给定不同的x值有不同的对应关系↓解决问题→根据不同的x的取值依次判断求解[解]算法如下：第一步，输入x的值．第二步，当x≤－1时，计算y＝－x2－1；否则执行第三步．第三步，计算y＝x3.第四步，输出y.1．(变条件)该例条件若改为“已知函数y＝－x＋1，x00，x＝0x＋1，x0”试设计一个算法输入x的值，求对应的函数值．[解]算法如下：第一步，输入x的值．第二步，若x0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．第三步，若x＝0，则y＝0，然后执行第四步，否则y＝x＋1.第四步；输出y的值．-6-2．(变结论)已知函数y＝－x2－1（x≤－1）x3（x－1），下面是输入x的值，求对应的函数值的一个算法，请填空：第一步，输入x.第二步，若x－1，输出________；否则执行第三步．第三步，输出________．当输入x的值为1时，输出的结果为________．[答案]x3－x2－11分段函数求值问题的算法设计分段函数求值的算法要运用分类讨论思想进行设计，对算法中可能遇到的情况一定要考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤．1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．2．算法设计的要求(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求解一类问题的算法是唯一的．()(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题．()(3)算法执行后一定产生确定的结果．()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列叙述中，①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3xx＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….-7-能称为算法的个数为()A．2B．3C．4D．5B[由算法的含义与特征知：①②③都是算法；④中，3xx＋1不是明确的步骤，不满足确定性；⑤中步骤是无穷的，与有限性矛盾．]3．已知一个学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分．求他的总分和平均分的一个算法为：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.第二步，____________________________________________.第三步，____________________________________________.第四步，输出计算的结果．[答案]计算总分D＝A＋B＋C计算平均分E＝D34．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．[解]法一：第一步，取S＝16π.第二步，计算R＝S4π(由于S＝4πR2)．第三步，计算V＝43πR3.第四步，输出运算结果．法二：第一步，取S＝16π.第二步，计算V＝43πS4π3.第三步，输出运算结果．