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-1-3.1.1随机事件的概率学习目标核心素养1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义．(重点)2．会初步列出重复试验的结果．(重点)3．理解频率与概率的区别与联系．(难点、易混点)通过概率的学习，培养数学抽象素养.1．必然事件、不可能事件与随机事件事件类型定义必然事件在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件确定事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件事件确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示2.频率与概率(1)频数与频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)概率随机事件发生可能性的大小用概率来度量，概率是客观存在的．对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈nAn.思考：两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相同吗？[提示]不一定．1．事件“经过有信号灯的路口，遇上红灯”是()-2-A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上均不正确[答案]C2．下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0，1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C[由频率与概率的有关概念知，C正确．]3．“同时抛掷两枚质地均匀的硬币，记录正面向上的枚数”，该试验的结果共有________种．3[正面向上的枚数可能为0，1，2，共3种结果．]4．某人射击10次，恰有8次击中靶子，则该人击中靶子的频率是________．0.8[810＝0.8.]事件类型的判断【例1】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x∈R，则x2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．[解](1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件；(4)中小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．判断事件类型的思路判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不会发生(不可能事件)．-3-1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x20”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是()A．4B．3C．2D．1B[③“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；①②④的判断均正确．]试验结果的列举【例2】设集合M＝{1，2，3，4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个基本事件．(1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？(2)“a＝b”这一事件包含哪几个基本事件？(3)“直线ax＋by＝0的斜率k－1”这一事件包含哪几个基本事件？[解]这个试验的基本事件构成集合Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(1)“a＋b＝5”包含以下4个基本事件：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)．(2)“a＝b”这一事件包含以下4个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．(3)直线ax＋by＝0的斜率k＝－ab－1，所以ab1.所以ab.所以包含以下6个基本事件：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件．(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决．2．下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．-4-(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．[解](1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．随机事件的频率与概率[探究问题]1．随机事件的频率与试验次数有关吗？[提示]频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．2．随机事件的概率与试验次数有关吗？[提示]概率是客观存在的一个确定的数，与试验做不做，做多少次完全无关．3．试验次数越多，频率就越接近概率吗？[提示]不是．随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大．在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概率的估计值．即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值．【例3】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．思路点拨：(1)由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数(一年内出险次数小于2的频数)，进而可得P(A)的估计值；(2)由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%的频数(一年内出险次数大于1且小于4的频数)，进而可得P(B)的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.-5-(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.1．(变条件)某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：射击次数n100120150100150160150击中飞碟数nA819512081119127121(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？[解](1)计算nAn得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807.(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.2．(变结论)本例条件不变，记C为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费的150%”，求P(C)的估计值．[解]事件C发生当且仅当一年内出险次数大于或等于4，由表中数据知，一年内出险次数大于或等于4的频率为20＋10200＝0.15，故P(C)的估计值为0.15.随机事件概率的理解及求法(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．(2)求法：通过公式fn(A)＝nAn＝mn计算出频率，再由频率估算概率．1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．-6-3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“抛掷硬币五次，均正面向上”是不可能事件．()(2)在平面图形中，三角形的内角和是180°是必然事件．()(3)频率与概率可以相等．()[答案](1)×(2)√(3)√2．下列事件中的随机事件为()A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)cB．没有水和空气，人也可以生存下去C．抛掷一枚硬币，反面向上D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾C[A中的等式显然对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]3．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有________种．36[试验的全部结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．]4．一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？[解](1)计算mn即得男婴出生的频率依次约为0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.(2)由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.-7-