搜索
-1-3.1.2概率的意义学习目标核心素养1.理解概率的意义，会用概率的意义解释生活中的实例．(重点、难点)2．了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律．1.通过概率意义的理解，培养数学抽象素养．2．借助实际问题中的统计规律，提升数学建模素养.1．对概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．2．实际问题中几个实例(1)游戏的公平性①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．(2)决策中的概率思想如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．(3)天气预报的概率解释天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，其指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小．(4)试验与发现概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．(5)遗传机理中的统计规律孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关-2-系．1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是()A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错C[概率是指一件事情发生的可能性大小．]2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况()A．这100个铜板两面是一样的B．这100个铜板两面是不同的C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的A[落地时100个铜板朝上面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．]3．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．白[取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．]4．若事件A发生的概率为13，则13表示________．事件A发生的可能性的大小[13表示事件A发生的可能性的大小．]对概率的理解[探究问题]1．随机事件A的概率P(A)反映了什么？[提示]反映了事件A发生的可能性的大小．2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？[提示]随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．-3-【例1】经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．思路点拨：结合概率的意义，正确理解概率的含义．[解]这种解释不正确，原因如下：因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指此事件发生的概率，即每次投篮有90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不发生，也可能发生，并不是说投100次必中90次．1．(变条件)某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?[解]不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．2．(变结论)经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，已知他连续投篮5次均未投中，那么下次投篮的命中率一定会大于90%，这种理解对吗？[解]这种理解不正确．此运动员命中率为90%，是他每次投中的可能性，但对于每一次投篮，其结果都是随机的，他连续5次未中是有可能的，但对下一次投篮而言，其命中率仍为90%，而不会大于90%.概率的正确理解(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．(2)任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生．(4)必然事件M的概率为1，即P(M)＝1；不可能事件N的概率为0，即P(N)＝0.游戏的公平性【例2】某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，-4-策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？[解]该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝612＝12，(2)班代表获胜的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．(2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．1.有一种游戏是这样的：在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1～12这12个数字(如图所示)，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听．游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进对应转盘上数字的格数．例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，以此类推．请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是多少？-5-[解]根据题意知转盘停止后，指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标有偶数的区域，故得到的奖品是随身听的概率是0.概率在实际生活中的应用【例3】为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当时间，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500尾，查看其中做记号的鱼的数量，设有40尾．试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．[解]设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值．假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A＝{带有记号的鱼}，由概率的统计定义可知P(A)＝2000n.①笫二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，共需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的频数m＝40，P(A)≈40500.②由①②两式，得2000n≈40500，解得n≈25000.所以估计水库中有鱼25000尾．处理概率应用问题的技巧(1)求概率：先利用频率等方法求出事件的概率．如本题中先求出带记号的鱼的概率．(2)估计值：利用概率的稳定性，根据频率公式估计数值．如本题中计算总体的数目，即求水库中鱼的尾数．2．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，若随机地抽取一箱，再从此箱中任意抽取一球，结果取得白球，则这个球最有可能是从________箱中抽出的(填“甲”或“乙”)．甲[甲箱中有99个白球和1个黑球，故随机地取出一球，得到白球的可能性是99100；乙-6-箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是1100.由此看出，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次随机抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的，所以我们作出统计推断，该白球是从甲箱中抽出的．]1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．()(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．()(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．()[答案](1)×(2)×(3)√2．某城市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水的概率为90%”，这是指()A．明天该地区约90%的地方会降水，其余地方不降水B．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水C．气象台的专家中，90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为90%D[“明天降水的概率为90%”指“明天降水”这一结果发生的可能性为90%，而非其他含义，故选D.]3．某厂产品的次品率为2%，估算该厂生产的1000件产品中合格产品的件数可能为________件．980[1000×(1－2%)＝980(件)．]4．解释下列概率的含义：(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；-7-(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是2245.[解](1)生产1000件电子产品大约有997件是合格的．(2)购买商品满200元进行抽奖，中奖的可能性为0.6.(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.(4)一个婴儿将是女孩的可能性是2245.