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-1-2.1.3分层抽样学习目标核心素养1.记住分层抽样的特点和步骤(重点)2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点)3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点)1.通过分层抽样的学习，培养数学运算素养．2．借助多种抽样方法的选择，提升逻辑推理素养.1．分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．2．分层抽样的实施步骤第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)．第二步，计算抽样比．抽样比＝样本容量总体容量.第三步，各层抽取的个体数＝各层总的个体数×抽样比．第四步，依各层抽取的个体数，按简单随机抽样从各层抽取样本．第五步，综合每层抽样，组成样本．思考：什么情况下适用分层抽样？[提示]当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样．1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样C[依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层抽样．]2．为了保证分层抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求()A．每层等可能抽取B．每层抽取的个体数相等-2-C．按每层所含个体在总体中所占的比例抽样D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制C[分层抽样为等比例抽样．]3．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是()A．8，8B．10，6C．9，7D．12，4C[抽样比1654＋42＝16，则一班被抽取人数为54×16＝9人，二班被抽取人数为42×16＝7人．]4．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，为不放回抽样的有________个．三[三种抽样方法均为不放回抽样．]分层抽样的概念【例1】下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B[A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C中，D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．]分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．-3-1．某校有在校高中生共1600人，其中高一学生520人，高二学生500人，高三学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到学生的年级高低消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问：应采用怎样的抽样方法？高三学生中应抽查多少人？[解]因为不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样．因为520∶500∶580＝26∶25∶29.所以将80分成26∶25∶29的三部分．设三部分各抽取的个体数分别为26x，25x，29x，由26x＋25x＋29x＝80得x＝1，所以高三学生中应抽查29人．分层抽样的设计及应用[探究问题]1．怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？[提示]在实际操作时，应先计算出抽样比＝样本容量总体容量，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：抽样比×该层个体数目＝样本容量总体容量×该层个体数目．2．计算各层所抽个体的个数时，如果算出的个数值不是整数怎么办？[提示]可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余个体．3．分层抽样公平吗？[提示]分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·NiN，每个个体被抽到的可能性是niNi＝1Ni·n·NiN＝nN.【例2】某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．思路点拨：观察特征→确定抽样方法→求出比例→确定各层样本数→从各层中抽样→样本[解]∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．∵10020＝5，-4-∴105＝2，705＝14，205＝4.∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．1．(变条件)某大型工厂有管理人员1200人，销售人员2000人，车间工人6000人，若要了解改革意见，从全厂人员中抽取一个容量为46的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．[解]改革关系到每个人的利益，采用分层抽样较好．抽样比：461200＋2000＋6000＝1200.∵1200×1200＝6(人)，2000×1200＝10(人)，6000×1200＝30(人)．∴从管理人员中抽取6人，从销售人员中抽取10人，从车间工人中抽取30人．因为各层中个体数目均较多，可以采用系统抽样的方法获得样本．2．(变结论)在本例中的抽样方法公平合理吗？请说明理由．[解]从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是20100＝15，即抽样比，按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×15＝2人，一般干部抽70×15＝14人，工人抽20×15＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为15，故这种抽样是公平合理的．分层抽样的步骤-5-抽样方法的选择【例3】①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为()A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样思路点拨：根据各抽样方法的特征、适用范围判断．D[①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.]抽样方法的选取(1)若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；(2)若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样．当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；2．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查．事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，-6-而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按年龄分层抽样D．系统抽样C[因为不同年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异．而男女对此活动差异不大，所以按年龄段分层抽样最合理．]1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式[解](1)样本容量n总体容量N＝各层抽取的样本数该层的容量；(2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．2．选择抽样方法的规律(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当总体由差异明显的几部分组成时，往往采用分层抽样．()(2)由于分层抽样是在各层中按比例抽取，故每个个体被抽到的可能性不一样．()(3)分层抽样中不含系统抽样和简单随机抽样．()[答案](1)√(2)×(3)×2．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人、30人、30人B．30人、45人、15人C．20人、30人、40人D．30人、50人、10人B[根据各校人数比例有3600∶5400∶1800＝2∶3∶1，由于样本容量为90，不难求出甲校应抽取30人、乙校应抽取45人、丙校应抽取15人．]3．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000家，其中农民家庭1800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样A．②③B．①③C．③D．①②③-7-D[由三种抽样方法的特点知，应先采用分层抽样对农民家庭需用系统抽样得到样本，对工人家庭需用简单随机抽样．]4．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．[解]因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．具体过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．(4)将300人合到一起，即得到一个样本．W