2019-2020学年高中数学 第3章 直线与方程 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点

-1-3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离学习目标核心素养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)1.通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2.通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.1．两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解是x＝ay＝b2.两直线的位置关系法一：代数法直线l1，l2联立得方程组唯一解无穷多解无解⇔l1，l2相交，l1，l2重合，l1，l2平行.(代数问题)(几何问题)法二：几何法方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0唯一解⇔A1A2≠B1B2⇔l1，l2相交，无穷多解⇔A1A2＝B1B2＝C1C2⇔l1，l2重合，无解⇔A1A2＝B1B2≠C1C2⇔l1，l2平行.3．两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.(2)两点间距离的特殊情况-2-①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2的形式？[提示]可以，原因是（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．(2，2)B．(1，1)C．(1，2)D．(2，1)C[由x＝1，y＝2得交点坐标为(1，2)，故选C.]2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为()A．5B．5C．3D．29B[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝（3－2）2＋（7－5）2＝5.]3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是()A．23B．3＋23C．6＋32D．6＋10C[|AB|＝（2＋1）2＋32＝32，|BC|＝（2＋1）2＋0＝3，|AC|＝（2－2）2＋32＝3，则△ABC的周长为6＋32.]两直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.[解](1)方程组2x－y－7＝0，3x＋2y－7＝0的解为x＝3，y＝－1.因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．-3-(2)方程组2x－6y＋4＝0，4x－12y＋8＝0有无数个解，这表明直线l1和l2重合．(3)方程组4x＋2y＋4＝0，2x＋y－3＝0无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.[解](1)解方程组2x＋y＋3＝0，x－2y－1＝0，得x＝－1，y＝－1，所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组x＋y＋2＝0，①2x＋2y＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.两点间距离公式的应用【例2】已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．[解]法一：∵|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，又|BC|＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．-4-法二：∵kAC＝7－11－（－3）＝32，kAB＝－3－13－（－3）＝－23，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213，|AB|＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．2．若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．[解]因为|AD|＝（5－3）2＋（4－0）2＝25.在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝|AD|2＋|BD|2＝20＋4＝26.所以等腰△ABC的腰长为26.经过两条直线交点的直线方程[探究问题]1.如何求两条直线的交点坐标？[提示]求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可．2．已知直线过一定点如何求其方程？[提示]已知直线过定点求其方程若斜率存在只需求出斜率即可．3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？[提示]过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x-5-＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)．【例3】求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．思路探究：求直线方程→待定系数法求方程→条件确定系数[解]法一：解方程组2x－3y－3＝0，x＋y＋2＝0，得x＝－35，y＝－75，所以两直线的交点坐标为－35，－75.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋75＝－3x＋35，即15x＋5y＋16＝0.法二：设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0，（2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得2＋112x＋112－3y＋2×112－3＝0，即15x＋5y＋16＝0.1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？[解]由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为－35，－75，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－13，所以直线l的方程为y＋75＝－13x＋35，即5x＋15y＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？[解]设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，-6-所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为()A．2x＋y＝0B．2x－y＝0C．x＋2y＝0D．x－2y＝0B[设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.]1．方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是()A．2ax－ay＋6＝0(a≠0)B．y＝2xC．2x－y＋5＝0D．2x＋y－3＝0D[直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．]2．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是()-7-A．－1，13B．13，1C．1，13D．－1，－13B[由3x＋4y－5＝0，3x＋5y－6＝0，得x＝13，y＝1.]3．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5C[|AB|＝（a＋2）2＋42＝5，解得a＝1或－5.]4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则|AC||CB|＝________．2[由两点间的距离公式，得|AC|＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB|＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC||CB|＝4222＝2.]5．已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．[解]设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1，0)，|PA|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝22.