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-1-4.1.1圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.d与r的大小点与圆的位置dr点P在圆内d＝r点P在圆上dr点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2，3)，1B．(2，－3)，3C．(－2，3)，2D．(2，－3)，2D[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为2.]-2-2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝2B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝10[因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．[解]法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知（1－a）2＋（－1－b）2＝r2，（－1－a）2＋（1－b）2＝r2，a＋b－2＝0，解此方程组，得a＝1，b＝1，r2＝4.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a，2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.-3-∴（a－1）2＋（2－a＋1）2＝（a＋1）2＋（2－a－1）2，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由y＝x，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上．[解](1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)，设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r.∴r＝|a＋2a－1|2，①-4-又圆过点P(2，－1)，∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，②由①②得a＝1，r＝2或a＝9，r＝132，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.点与圆的位置关系【例2】已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．[解]因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r＝（－3－0）2＋（－4－0）2＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.因为|P1C|＝（－1＋3）2＋（0＋4）2＝4＋16＝255，所以P1(－1，0)在圆内；因为|P2C|＝（1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以P2(1，－1)在圆上；因为|P3C|＝（3＋3）2＋（－4＋4）2＝65，所以P3(3，－4)在圆外．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．2．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[解]由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－52.∵a≠0，∴a的取值范围为－52，0∪(0，＋∞)．-5-与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？[提示]可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．2．若点P(x,y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，如何求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？[提示]可先求出圆心(2，－2)到直线x－y＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．【例3】已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求x2＋y2的最值．思路探究：首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．[解]由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94和14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．[解]设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．[解]令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.-6-与圆有关的最值问题的常见类型及解法：(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题．1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．1．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为()A．x2＋(y－4)2＝25B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25D．(x＋4)2＋y2＝25A[由题意，圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.]2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2B[由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B.]3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝4[由题意知，圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]4．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．[0，1)[由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]-7-5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．[解]易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝5，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.