2019-2020学年高中数学 第4章 圆与方程章末复习课学案 新人教A版必修2

-1-第4章圆与方程求圆的方程【例1】求圆心在圆x－322＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－12都相切的圆的方程．[解]设圆心坐标为(a，b)，半径为r，因为圆x－322＋y2＝2在直线x＝－12的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－12都相切，所以a＞－12.所以r＝a＋12，r＝|b|.又圆心(a，b)在圆x－322＋y2＝2上，所以a－322＋b2＝2，联立r＝a＋12，r＝|b|，a－322＋b2＝2.-2-解得a＝12，r＝1，b＝±1.所以所求圆的方程是x－122＋(y－1)2＝1，或x－122＋(y＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程(组)．(3)解出a,b,r(或D,E,F)．(4)代入圆的方程．1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m，0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系【例2】已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[解](1)直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4,－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－150，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．-3-(2)如图，当圆心C(3,－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－13，所以m＝－16.在△APC中，|PC|＝10，|AC|＝r＝5，所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，所以|AP|＝15，所以|AB|＝215，即最短弦长为215.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法.一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．2．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,2)和原点O.(1)求圆C的方程；(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．[解](1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a,－a－2)．由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.因为圆心C(－2，0)，半径r＝2，所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－1k，所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，l2：y＝－1k(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，所以|－2k＋k|k2＋1＝|－2＋1|k2＋1，解得k＝±1，所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.-4-圆与圆的位置关系【例3】已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解](1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝13；C2(4，－2)，r2＝13.因为|C1C2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2＝213＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2相切．由x2＋y2＋4x－4y－5＝0，x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋43(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－203y－9＝0.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A,B两点，则线段AB的中垂线方程为________．x＋y－3＝0[AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2.又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.]空间中点的坐标及距离公式的应用-5-【例4】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．[解]由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以Ma2，a2，a2，O′a2，a2，a.因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故Na4，3a4，a.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|＝a2－a42＋a2－3a42＋a2－a2＝64a.求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．-6-[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝6.