2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次

12．3二次函数与一元二次方程、不等式考点学习目标核心素养一元二次不等式的解法掌握一元二次不等式的解法数学运算三个“二次”之间的关系理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系数学抽象一元二次不等式的实际应用会用一元二次不等式解决有关实际问题数学建模问题导学预习教材P50－P54，并思考以下问题：1．一元二次不等式的概念是什么？2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的过程是什么？1．一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(其中a，b，c均为常数，a≠0)■名师点拨一元二次不等式概念中的关键词(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．(2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ0Δ＝0Δ02y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1，或xx2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅■名师点拨从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．(2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．4．求解一元二次不等式的过程判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x0是一元二次不等式．()(2)不等式x2－2x＋30的解集为R.()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2＋bx3＋c0的解集为{x|x1xx2}．()答案：(1)×(2)√(3)×不等式3x2－2x＋10的解集为()A．x－1x13B．x13x1C．∅D．R解析：选D.因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－80，所以不等式3x2－2x＋10的解集为R.不等式ax2＋5x＋c0的解集为x13x12，则a，c的值分别为()A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－6解析：选B.由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝13，x2＝12，由根与系数的关系得x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ca，解得a＝－6，c＝－1.不等式(2x－5)(x＋3)0的解集为________．答案：x－3x52解不含参数的一元二次不等式解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－20；(4)－12x2＋3x－50.【解】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx＜－3或x－12.4(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋100，Δ＝(－6)2－40＝－40，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得．(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．1．不等式－2x2＋x＋30的解集是()A．{x|x－1}B.xx32C.x－1x32D.xx－1或x32解析：选D.不等式－2x2＋x＋30可化为2x2－x－30，因为Δ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝32，又二次函数y＝2x2－x－3的图象开口向上，所以不等式－2x2＋x＋30的解集是xx－1或x32，故选D.2．解不等式：－2x2－3x≤10.解：原不等式等价于不等式组x2－3x－2①，x2－3x≤10②，不等式①可化为x2－3x＋20，解得x2或x1.5不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5.故原不等式的解集为{x|－2≤x1或2x≤5}．解含参数的一元二次不等式解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.【解】①当a＝0时，原不等式即为－x＋10，解得x1.②当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.③当a0时，原不等式化为x－1a(x－1)0.若a＝1，即1a＝1时，不等式无解；若a1，即1a1时，解得1ax1；若0a1，即1a1时，解得1x1a.综上可知，当a0时，不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.含参一元二次不等式的解法6解关于x的不等式x2＋x－a(a－1)0，(a∈R)．解：因为关于x的不等式x2＋x－a(a－1)0，所以(x＋a)(x＋1－a)0，当－aa－1，即a12时，xa－1或x－a，当a－1－a，即a12时，x－a或x＞a－1，当a－1＝－a，即a＝12时，x≠－12，所以当a12时，原不等式的解集为{x|xa－1或x－a}，当a12时，原不等式的解集为{x|x－a或xa－1}，当a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.三个“二次”之间的关系若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为xx13或x12，求关于x的不等式cx2－bx＋a0的解集．【解】由题意知a0，13＋12＝－ba，13×12＝ca，所以a0，b＝－56a0，c＝16a0，代入不等式cx2－bx＋a0中得16ax2＋56ax＋a0(a0)．即16x2＋56x＋10，化简得x2＋5x＋60，解得－3x－2，所以所求不等式的解集为{x|－3x－2}．7若将本例中“xx13或x12”改为“{x|13x12}”，其他条件不变，如何求解？解：由题意知a013＋12＝－ba13×12＝ca，即a0，b＝－56a0，c＝16a0.代入不等式cx2－bx＋a0，得16ax2＋56ax＋a0(a0)，即16x2＋56x＋10，化简得x2＋5x＋60，解得x－2或x－3.所以所求不等式的解集为{x|x－2或x－3}．三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：1．若不等式(x－a)(x－b)0的解集为{x|1x2}，则a＋b的值为()A．3B．1C．－3D．－1解析：选A.因为不等式(x－a)(x－b)0的解集为{x|1x＜2}，所以1和2为方程(x－a)(x－b)＝0的两个根，则有a＝1，b＝2或a＝2，b＝1.所以a＋b＝1＋2＝3，即a＋b的值为3.2．已知关于x的不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：因为不等式x2－ax＋2a0在R上恒成立．所以Δ＝(－a)2－8a0，解得0a8.答案：0a88一元二次不等式的实际应用某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3m，AD＝2m.要使矩形AMPN的面积大于32m2，则DN的长应在什么范围内？【解】设DN的长为x(x0)m，则AN的长为(x＋2)m.因为DNAN＝DCAM，所以AM＝3（x＋2）x，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝3（x＋2）2x.由S矩形AMPN32，得3（x＋2）2x32.又x0，得3x2－20x＋120，解得0x23或x6，即DN的长的取值范围是x|0x23或x6.解不等式应用题的步骤1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0x240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台9解析：选C.由题意知y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．2．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？若“能”，求出该矩形边长的取值范围．解：设矩形一边的长为xm，则另一边的长为(50－x)m，0x50.由题意，得x(50－x)600，即x2－50x＋6000，解得20x30.所以当矩形一边的长在(20，30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600m2的矩形．1．不等式3x2－7x＋20的解集为()A.x13x2B.xx13或x2C.x－12x－13D．{x|x2}解析：选A.因为3x2－7x＋2＝(x－2)(3x－1)0，所以13x2.2．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是()A.x|23≤x≤2B.x|x≥2或x≤23C.x|32≤x≤2D.x|－23≤x≤2解析：选A.原不等式等价于x－23(x－2)≤0，解得23≤x≤2，故选A.3．要使17－6x－x2有意义，则x的取值范围为________．解析：要使17－6x－x2有意义，则7－6x－x20，即(x＋7)(x－1)0，所以－7x1.答案：－7x14．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既减少耕地的损失10又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围为________．解析：由题意可列不等式如下：20－52t·24000·t%≥9000⇔3≤t≤5.答案：3≤t≤5[A基础达标]1．下列四个不等式：①－