2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时

1第1课时根式[目标]1.理解n次方根及根式的概念；2.能正确运用根式运算性质进行运算变换．[重点]利用根式的运算性质对式子进行化简．[难点]有条件或复杂根式的化简求值问题.知识点一a的n次方根和根式[填一填]1．a的n次方根(1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.(2)表示：2.根式式子na叫做根式，其中根指数是n，被开方数是a.[答一答]1.38是根式吗？根式一定是无理式吗？提示：是根式．根式不一定是无理式．如38是根式，但不是无理式，因为38＝2是有理数．2．对“根式记号”应关注什么？提示：当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为na(a∈R)；当n为大于1的偶数2时，na(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－na，从而(±na)n＝a.知识点二根式的性质[填一填](1)n0＝0(n∈N*，且n1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n1)；(3)nan＝a(n为大于1的奇数)；[答一答]3．如何确定根式na的符号？提示：根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定；①当n为偶数时，a≥0，na为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致，a0时，na0；a＝0时，na＝0；a0时，na0.4.nan和(na)n二者之间形式相似，有何区别，它们分别等于什么？提示：(1)(na)n是实数a的n次方根的n次幂．若n为奇数，存在唯一的x∈R，使x＝na，满足xn＝a，即(na)n＝a；若n为偶数，只有a≥0时，na才有意义，在实数范围内使xn＝a成立的x有两个：(±na)n＝a；而当a0时，无意义．(2)nan是实数an的n次方根，当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|.综上可知，①当n为奇数，a∈R时，有nan＝(na)n＝a；3②当n为偶数，a≥0时，有nan＝(na)n＝a.类型一根式的概念问题[例1](1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．(2)已知x7＝6，则x＝________.(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是________．[答案](1)±45－27(2)76(3)[2,＋∞)[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∵x7＝6，∴x＝76.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[变式训练1]有下列说法：①3－27＝3；②16的4次方根是±2；4③481＝±3；④x＋y2＝|x＋y|.其中正确的有②④(填上正确说法的序号)．解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故3－27＝－3，所以①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；481＝3，所以③错误；x＋y2是正数，所以x＋y2＝|x＋y|，④正确．故填②④.类型二根式的化简与运算[例2]求下列各式的值：(1)614－3338－30.125；(2)3－83＋43－π4；(3)(5a－b)5＋(6b－a)6(ba)．[分析]利用根式的性质化简各个根式，再进行运算．[解](1)原式＝254－3278－318＝52－32－12＝12.(2)原式＝－8＋|3－π|＝－8＋π－3＝π－11.(3)原式＝(a－b)＋|b－a|＝a－b＋b－a＝0.5[变式训练2](1)化简3a3＋41－a4的结果是(C)A．1B．2a－1C．1或2a－1D．0解析：3a3＋41－a4＝a＋|1－a|＝1，a≤1，2a－1，a1.(2)若9a2－6a＋1＝3a－1，求a的取值范围．解：因为9a2－6a＋1＝3a－12＝|3a－1|＝3a－1，所以3a－1≥0，所以a≥13.所以a的取值范围为13，＋∞.类型三有限制条件的根式化简[例3]若代数式2x－1＋2－x有意义，化简4x2－4x＋1＋24x－24.[分析]先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．[解]∵代数式2x－1＋2－x有意义，∴2x－1≥0，2－x≥0.∴12≤x≤2.∴4x2－4x＋1＋24x－24＝2x－12＋24x－24＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝2x－1＋4－2x＝3.进行根式的化简时，我们经常忘记条件，根式有意义常忘记被开方数为0的情况，做题时应引起高度注意．6[变式训练3]设－3x3，求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值．解：原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，∵－3x3，∴当－3x1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝－2x－2－3x1，－41≤x3.1．下列各式正确的是(A)A．(3a)3＝aB．(47)4＝－7C．(5a)5＝|a|D.6a6＝a2．已知xy≠0，且4x2y2＝－2xy，则有(A)A．xy0B．xy0C．x0，y0D．x0，y0解析：4x2y2＝2xy2＝|2xy|＝－2xy，∴2xy0，∴xy0.3．已知x1，化简x－13－x2＝1－x3－x.解析：∵x1，∴原式＝|x－13－x|＝|x－1||3－x|＝1－x3－x.4．若5a8，则式子a－52＋a－82＝3.解析：∵5a8，∴a－50，a－80.∴原式＝|a－5|＋|a－8|＝(a－5)＋(8－a)＝3.5．已知ab0，n1，n∈N*，化简na－bn＋na＋bn.解：∵ab0，∴a－b0，a＋b0.当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.7∴na－bn＋na＋bn＝2a，n为奇数，－2a，n为偶数.——本课须掌握的三大问题1．在实数范围内，一个正数的奇次方根是一个正数；一个负数的奇次方根是一个负数．2．在实数范围内，一个正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；一个负数没有偶次方根．3．0的任何次方根都是0.学习至此，请完成课时作业14