2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.3 幂函数教案 新人教A版必修1

12．3幂函数[目标]1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点]幂函数的定义、图象和性质．[难点]利用幂函数的性质解决有关问题.知识点一幂函数的概念[填一填]一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a0，且a≠1)有何区别？提示：幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．知识点二幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象如下图．2[答一答]3．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0α1，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如y＝x12.(3)α0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1.4．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x0时，y＝xα0，不可能出现y0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填一填]五类幂函数的性质[答一答]5．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？3提示：α0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；α0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．类型一幂函数的概念[例1](1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知f(x)＝(m2－3m＋3)xm－13为幂函数，则m等于()A．1B．2C．1或2D．－2[答案](1)B(2)C[解析](1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.(2)由幂函数的定义可知m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.解得m＝1或m＝2.故选C.幂函数解析式的结构特征：1解析式是单项式；2幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1](1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝(C)A.12B．1C.32D．2(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－3或1，n＝32.4解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把12，22代入y＝xα得α＝12，∴k＋α＝32.选C.(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，解得m＝－3或1，n＝32.类型二幂函数的图象[例2]下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则()A．－1n0m1B．n－1,0m1C．－1n0，m1D．n－1，m1[答案]B[解析]由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0m1；由y＝xn的图象是双曲线，知n0.作直线x＝x0(0x01)，与y＝xn、y＝x－1的图象分别交于点A、B，由“点低指数大”知n－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限5分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x12的图象经过的区域对应的序号有(D)A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0x1时，x－x0，即xx1，∴幂函数y＝x12的图象经过区域①；当x1时，x－x0，即xx1，∴幂函数y＝x12的图象经过区域⑤.类型三幂函数的性质应用[例3]比较下列各组中三个数的大小．[分析]本题考查幂函数及指数函数的单调性．6比较幂值大小的方法7[变式训练3]比较下列各组中两个值的大小：1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(B)A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－12．如果幂函数f(x)的图象过点4，12，那么f116的值为(D)A.12B．2C．1D．4解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f(x)＝x－12，∴f116＝116－12＝4.3．函数y＝x13的图象是(B)8解析：∵函数y＝x13是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x1,0α1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为－12.解析：∵y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：解：(1)∵y＝x12为[0，＋∞)上的增函数，又1.10.9，∴1.1120.912.——本课须掌握的三大问题1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝19的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．学习至此，请完成课时作业22学科素养培优精品微课堂与幂函数有关的简单不等式问题开讲啦与幂函数有关的不等式是形如[f(x)]α[g(x)]α的不等式，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性将其转化为关于x的不等式组来求解．[典例]已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)p3(3－2a)p3的实数a的取值范围．[分析]先根据y＝xp－3的单调性和奇偶性及p∈N*确定p的值，再利用函数y＝xp3的单调性列不等式求解．[解]因为函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，所以p－30,即p3，又因为p∈N*，所以p＝1或p＝2.因为函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，所以p－3是偶数，所以p＝1，即y＝x－2，(a＋1)13(3－2a)13.因为函数y＝x13在(－∞，＋∞)上是增函数，所以a＋13－2a，即a23，所以a的取值范围是－∞，23.[对应训练]已知f(x)＝x1－n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)f(x＋3)．解：由条件知1－n2＋2n＋30，10∴－n2＋2n＋30，解得－1n3.又n＝2k，k∈Z，∴n＝0或n＝2.当n＝0或n＝2时，f(x)＝x13.∵f(x)＝x13在R上单调递增，∴f(x2－x)f(x＋3)等价于x2－xx＋3.解得x－1或x3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．