2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时

1第2课时对数函数的性质应用[目标]1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．[重点]对数函数的图象和性质的应用．[难点]对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性[填一填]1．对数函数的单调性：当a1时，y＝logax为增函数，当0a1时，y＝logax为减函数．2．对于y＝logax，若a1，当x1时，y0，当0x1时，y0；若0a1，当0x1时，y0，当x1时，y0.[答一答]1．若a1，且mn，则logam与logan的大小关系是logamlogan.若0a1，且mn，则logam与logan的大小关系是logamlogan.2．若a1，且logamlogan，则m与n的大小关系是mn；若0a1，且logamlogan，则m与n的大小关系是mn.知识点二复合函数的单调性[填一填]复合函数y＝logaf(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝logaf(x)的增(减)区间；若0a1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数y＝logaf(x)的减(增)区间．[答一答]3．f(x)＝log3(x＋5)的单调区间是否只有一个？是否就是y＝x＋5的单调区间？提示：是只有1个，但不是y＝x＋5的单调增区间(－∞，＋∞)，而是(－5，＋∞)．2知识点三反函数[填一填]函数y＝logax(a0，且a≠1)与y＝ax(a0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称．[答一答]4．指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a1时同为增函数，0a1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线y＝x对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．类型一比较大小[例1]比较下列各组值的大小．(1)log534与log543；(2)log132与log152；(3)log23与log54.[解](1)法一：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而3443，∴log534log543.法二：∵log5340，log5430，∴log534log543.3对数式比较大小的三种类型和求解方法1底数相同时，利用单调性比较大小.2底数与真数均不相同时，借助于0或1比较大小.3真数相同时，可利用换底公式换成同底，再比较大小，但要注意对数值的正负.[变式训练1]设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(D)A．cbaB．bcaC．acbD．abc解析：由对数运算法则得a＝log36＝1＋log32，b＝1＋log52，c＝1＋log72，由对数函数图象得log32log52log72，所以abc，故选D.类型二解对数不等式[例2](1)若loga251(a0，且a≠1)，求实数a的取值范围．(2)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，求x的取值范围．[分析]对于(1)“1”变为logaa讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解．[解](1)loga251，即loga25logaa.当a1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga25logaa总成立；当0a1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，由loga25logaa，得a25，即0a25.所以实数a的取值范围为0，25∪(1，＋∞)．(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)log0.7(x－1)，得2x0，x－10，2xx－1，解得x1.∴x的取值范围为(1，＋∞)．4解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.[变式训练2]若－1loga341(a0，且a≠1)，求实数a的取值范围．解：∵－1loga341，∴loga1aloga34logaa.当a1时，1a34a，则a43；当0a1时，1a34a，则0a34.故实数a的取值范围是0，34∪43，＋∞.类型三对数复合型函数的值域[例3]求下列函数的值域：(1)y＝log12(－x2＋2x＋3)；(2)y＝log313x－2，x∈[－3，－1]．[分析]先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．[解](1)设u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4≤4，∵y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，∴log12(－x2＋2x＋3)≥log124＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)．(2)设u＝13x－2，∵x∈[－3，－1]．∴3≤13x≤27，即1≤u≤25.∵函数y＝log3u在(0，＋∞)上是增函数，5∴0≤log313x－2≤log325.∴原函数的值域为[0，log325]．1.与对数函数有关的复合函数的值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域多采用换元法.2.对于形如y＝logafxa0，且a≠1的复合函数的值域的求解的步骤：①分解成y＝logau，u＝fx两个函数；②求fx的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解.[变式训练3]设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，14≤x≤4.若t＝log2x.(1)求t的取值范围．(2)求f(x)的值域．解：(1)因为t＝log2x，14≤x≤4，所以log214≤t≤log24，即－2≤t≤2.(2)函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，即f(x)＝(log2x)2＋3log2x＋2，又t＝log2x，则y＝t2＋3t＋2＝t＋322－14(－2≤t≤2)．当t＝－32时，即log2x＝－32，x＝2－32时，f(x)min＝－14；当t＝2时，即log2x＝2，x＝4时，f(x)max＝12.综上可得，函数f(x)的值域为－14，12.6类型四对数复合型函数的单调性[例4]已知f(x)＝log12(x2－ax－a)在－∞，－12上是增函数，求a的取值范围．[解]令u(x)＝x2－ax－a，∵f(x)＝log12u(x)在－∞，－12上是增函数，∴u(x)在－∞，－12上是减函数，且u(x)0在－∞，－12上恒成立．∴a2≥－12，u－12≥0，即a≥－1，14＋a2－a≥0.∴－1≤a≤12.∴满足条件的a的取值范围是{a|－1≤a≤12}．与对数函数有关的复合函数y＝logagx的单调性的求解步骤：1确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.很多同学忽略了定义域，即要满足gx0导致错误2弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数y＝logau，内层函数u＝gx.3分别确定这两个函数的单调区间.4若这两个函数同增或同减，则y＝logagx为增函数；若一增一减，则y＝logagx为减函数，即“同增异减”.[变式训练4]已知f(x)＝loga(8－3ax)在[－1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是(B)A．(0,1)B.1，43C.43，4D．(1，＋∞)解析：由题意，知8－3ax0，x∈[－1,2]，∴8＋3a0,8－6a0，∴－83a43.又易知a0，7且a≠1，∴0a1或1a43，此时可知函数g(x)＝8－3ax是减函数．若f(x)在[－1,2]上是减函数，则必有a1.所以实数a的取值范围为1，43.故选B.1．若0xy1，则下列关系式正确的一组是(D)A．log3xlog3yB．log12xlog12yC．logx3logy3D．log4xlog4y解析：∵y＝log3x是增函数，∴当xy时，log3xlog3y.∵y＝log12x是减函数，∴当xy时，log12xlog12y.∵log3xlog3y0，∴1log3y1log3x0.∴logy3logx3.∵y＝log4x是增函数，且0xy1知log4xlog4y.2．函数y＝2x的反函数是(C)A．y＝log2xB．y＝log12xC．y＝log2x(x0)D．y＝log12x(x0)解析：函数y＝2x的值域是(0，＋∞)．又其反函数为y＝log2x.故选C.3．函数y＝log12(x2－6x＋17)的值域是(－∞，－3]．解析：由x2－6x＋17＝(x－3)2＋80恒成立，知x∈R.设u＝x2－6x＋17.∵0121，∴函数y＝log12u是减函数．又∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，∴log12(x2－6x＋17)≤log128＝log1223＝log1212－3＝－3.故函数y＝log12(x2－6x＋17)的值域为(－∞，－3]．4．函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．解析：∵3＋2x－x20，∴x2－2x－30.∴－1x3.令u＝3＋2x－x2＝－(x2－2x－3)＝－(x－1)2＋4，8∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是lnu的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)．5．已知f(x)＝loga(ax－1)(a0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)使f(x)＝loga(ax－1)有意义，则ax－10，即ax1.当a1时，x0；当0a1时，x0，∴当a1时，函数的定义域为{x|x0}；当0a1时，函数的定义域为{x|x0}．(2)①当a1时，设0x1x2，则1ax1ax2，∴0ax1－1ax2－1，∴loga(ax1－1)loga(ax2－1)，∴f(x1)f(x2)，∴当a1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②当0a1时，设x1x20，则ax1ax21，∴ax1－1ax2－10，∴loga(ax1－1)loga(ax2－1)，∴f(x1)f(x2)，∴当0a1时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上可知：函数f(x)＝loga(ax－1)在其定义域上为增函数．——本课须掌握的三大问题1．利用对数的单调性可解简单的对数不等式．解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件．2．求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．3．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．学习至此，请完成课时作业219