2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)章末总结教案 新人教A版必修1

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1本章总结1.掌握分数指数幂的意义:=1nam(a0,m,n∈N*,n1).2.掌握指数式与对数式的关系:ab=N⇔logaN=b(a0,且a≠1,N0).3.指数的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=ar·br,其中a0,b0,r,s∈Q.4.对数的运算性质:logaMN=logaM-logaN,loga(MN)=logaM+logaN,logaMn=nlogaM(n∈R),其中a0,且a≠1,M0,N0.5.对数恒等式:loga1=0,logaa=1,alogaN=N,其中a0,且a≠1,N0.6.比较大小问题:应先区分是正还是负,再区分是大于1的数还是小于1的正数,然后分类比较,要注意指数函数与幂函数单调性在应用上的区别,若是同底数幂比较大小,则利用指数函数的单调性;若是同指数幂比较大小,则利用幂函数的单调性.7.准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提,利用对数运算,可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算,从而显示了利用对数运算的优越性.8.利用换底公式时,应注意选择恰当的底,既要善于“正用”,还要注意它的“逆用”.9.在比较与鉴别中学习,注意指数与对数运算法则的对比;指数函数与对数函数性质的对比;函数增长快慢的对比.10.注意数形结合,本章的内容中,图象占有很大的比重,函数的图象在研究函数的性质时起到了很重要的作用,因此在学习中要特别注意利用函数图象,心中不但有“数”,而2且还要有“图”.记住某些常见的函数图象的草图,养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯.专题一指数与对数的运算问题指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点,它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础,也是高考必考内容之一,教学中应给予足够的重视.[例1](1)计算:②原式=lg5(3lg2+3)+(3lg2)2+lg0.01=3lg2·lg5+3lg5+3lg22-2=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2=3-2=1.3[点评](1)对于根式的运算结果,不强求形式的统一,但结果绝不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.(2)指、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂、对数的运算法则及性质加以解决,在运用法则时要注意法则的逆用.在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化,因此要熟练把握这些运算性质的基本特征:①同底;②“和积”互化.专题二指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的基本初等函数.它们的图象与性质始终是高考考查的重点.由于指数函数y=ax,对数函数y=logax(a0,a≠1)的图象与性质都与a的取值有密切的联系,幂函数y=xα的图象与性质与α的取值有关,a,α变化时,函数的图象与性质也随之改变;因此,在a,α的值不确定时,要对它们进行分类讨论.[例2]如下图所示,函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系下的图象大致是()[解析]因为f(x)=1+log2x,所以f(x)的图象应由y=log2x的图象沿y轴向上平移一个单位而得到,与x轴的交点为(12,0).因为g(x)=2-x+1=(12)x-1,所以应由y=(12)x的图象沿x轴向右平移一个单位而得到,故选C.[答案]C4[例3]方程a-x=logax(a0,且a≠1)的实数解的个数为()A.0B.1C.2D.3[解析]本例可用数形结合法画出y=a-x与y=logax的图象,观察交点个数,要注意对a分a1与0a1两种情况讨论.当a1时,在同一坐标系中画出y1=logax的图象和y2=a-x的图象如图(1),由图象知两函数图象只有一个交点;同理,当0a1时,由图象(2)知,两图象也只有一个交点.因此,不论何种情况,方程只有一个实数解.[答案]B[例4]方程log2(x+2)=-x的实数解有()A.0个B.1个C.2个D.3个[分析]令y1=log2(x+2),y2=-x,分别作出两个函数图象,利用数形结合的方法解题.[解析]令y1=log2(x+2),y2=-x,分别画出两个函数图象,如图所示.函数y1=log2(x+2)的图象是由函数y=log2x的图象向左平移2个单位长度得到.函数y2=-x的图象是由幂函数y=x12的图象关于y轴对称得到.由图象可知,显然y1与y2有一个交点.故选B.5[答案]B[点评]本题所给方程不能直接求解,而是需构造两个函数,利用数形结合可从图象上观察到两个函数图象交点的个数,从而推出这个方程解的个数,关键是较准确地作出y1=log2(x+2)与y2=-x的图象.[例5]当0x≤13时,logax8x恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,33)B.(33,1)C.(1,3)D.(3,2)[解析]∵logax8x,∴logax0,而0x≤13,∴0a1,作出y=8x与y=logax的大致图象如图所示,则只需满足loga13813=2=logaa2,解得a33,∴33a1,故选B.[答案]B[例6]已知函数f(x)=ax-1ax+1(a0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的单调性.[分析]由指数函数的定义知y=ax(a0,且a≠1)的定义域为x∈R,且y=ax0,因此在求函数值域时可由ax0求y的取值范围.在讨论单调性时,可由定义入手,也可由指数函数单调性入手.[解](1)易得f(x)的定义域为R.设y=ax-1ax+1,解得ax=-y+1y-1.①6∵ax0,∴当且仅当-y+1y-10时,方程①有解.解-y+1y-10,得-1y1.∴f(x)的值域为{y|-1y1}.(2)f(x)=ax+1-2ax+1=1-2ax+1.①当a1时,∵y=ax+1为增函数,且ax+10,∴y=2ax+1为减函数,从而f(x)=1-2ax+1=ax-1ax+1为增函数.②当0a1时,同理可得f(x)=ax-1ax+1为减函数(还可以用单调性的定义讨论证明).[点评]求定义域注意表达式中自变量x受限制的条件,求值域灵活掌握、运用换元法、分离常数法、单调性法、数形结合法、判别式法等各种方法.专题三指数函数、对数函数的实际应用[例7]某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间.[分析]分段求函数的解析式,再利用解析式解决问题.[解](1)当0≤t≤1时,点M(1,4)在线段y=kt上,则k=4,这时y=4t;当t≥1时,点M(1,4)在曲线y=(12)t-a上,则(12)1-a=4,得a=3,这时y=(12)t-3,所以f(t)=4t0≤t≤1,12t-3t1.(2)由题意知,需f(t)≥0.25,当0≤t≤1时,由4t≥0.25,得t≥116,所以116≤t≤1;7当t1时,由(12)t-3≥0.25=(12)2,得t≤5,所以1t≤5.所以满足f(t)≥0.25时,116≤t≤5.由此知,服药一次治疗疾病有效的时间为5-116=41516小时.[点评]识图、用图是本题求解的第一环节,待定系数法求函数表达式是重要的方法,在求解不等式f(t)≥0.25时,既要运用分段函数的相关知识,同时又要运用好指数函数的性质.

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