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13．2.1几类不同增长的函数模型[目标]1.了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较；3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．[重点]几类不同函数模型增长的含义及差异．[难点]如何选择数学模型分析解决实际问题.知识点三类不同增长的函数模型的比较[填一填]1．三类函数模型的性质2.函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)或y＝xn(n0)增长速度的对比(1)对于指数函数y＝ax(a1)和幂函数y＝xn(n0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.(2)对于对数函数y＝logax(a1)和幂函数y＝xn(n0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个2x0，当xx0时，就会有logaxxn.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.[答一答]1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区别？提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象，如图：观察归纳结论：从图上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点，有时2xx2，有时x22x，但是当自变量越来越大时，可以看到2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎是微不足道的．y＝2x与y＝x2图象在(0，＋∞)上有两个交点(2,4)，(4,16)．当x4时，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度．2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度最快的是哪一个函数？提示：y＝3x.3．当0a1，n0时，如何比较ax，logax，xn的大小？提示：总会存在一个x0，使xx0时，logaxaxxn，而当xx0时，ax，logax，xn的大小不确定．类型一函数模型增长差异的比较[例1]函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的大致图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.3(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2011)，g(2011)的大小．[分析]观察图象特点找区别→比较同一函数的不同函数值大小→比较相同自变量不同函数的函数值大小→结论[解](1)曲线C1对应的函数为g(x)＝x3，曲线C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1000，f(10)＝1024，∴f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，∴1x12,9x210，∴x18x22011.由图象可知，当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，f(x)g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2011)g(2011)g(8)f(8)．除了根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断，还可以根据图象进行判断.,根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.[变式训练1]四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(D)A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝2xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：对比四种函数的增长速度，当x充分大时，指数函数增长速度越来越快，因而最终物体4会在最前面，故选D.4类型二函数增长模型差异的应用[例2]某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[分析]作出函数图象→观察图象得到结论[解]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；4幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.[变式训练2]一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？解：若年利率为r，则扣除利息税后，实际利率为0.8r.按单利计息，则第n年的本息为10000(1＋n×0.8×0.04)＝10000(1＋0.032n)(元)；5按复利计息，则第n年的本息为10000(1＋3.6%×0.8)n＝10000×1.0288n(元)，列表如下(单位：元)从上表可以看出，若存款年数不超过8年，应选用单利计息；若存款年数超过8年，则应选用复利计息．1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2xB．y＝1000x＋50C．y＝x100D．y＝log100x解析：根据指数型函数增长速度最快知，当x越来越大时，y＝2x的增长速度最快．2．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是(C)A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数解析：从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此是对数函数图象．3．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为(A)6A．19kgB．16kgC．25kgD．30kg解析：将点(30,330)与(40,630)代入y＝kx＋b得30k＋b＝330，40k＋b＝630，得k＝30，b＝－570，∴y＝30x－570.令y＝0得x＝19.4．当2x4时，log2x,2x，x2的大小关系是x22xlog2x.解析：令x＝3得x22xlog2x.5．根据函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x给出以下命题：①f(x)，g(x)，h(x)在其定义域上都是增函数；②f(x)的增长速度始终不变；③f(x)的增长速度越来越快；④g(x)的增长速度越来越快；⑤h(x)的增长速度越来越慢．其中正确的命题序号为①②④⑤.解析：f(x)＝2x的增长速度始终不变，g(x)的增长速度越来越快，而h(x)的增长速度越来越慢，故只有①②④⑤正确．——本课须掌握的两大问题1．三类函数增长的比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当xx0，就有logaxxnax.2．函数模型的选取：7(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝xn(n0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快．学习至此，请完成课时作业25图象信息迁移问题开讲啦函数图象在实际生活中能反映某些事件的变化情况和趋势，它具有简单、明了的特点，是高考中常考的一种类型题，下面通过例题体现函数图象的实际应用．[典例]一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是()8[解析]观察图象A，体温逐渐降低，不合题意；图象B不能反映“下午体温又开始上升”；图象D不能体现“下午体温又开始上升”与“直到半夜才感觉身上不那么发烫”，故选C.[答案]C[名师点评]利用图文中所给的信息灵活地进行分析．[对应训练]某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，s为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示s＝f(t)的函数关系的为(C)解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，s＝vt，图象为一条线段；当环岛两周时，s两次增至最大，并减少到与环岛前的距离s0；上岸考察时，s＝s0；返回时，s＝s0－vt，图象为一条线段．所以选C.9