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11.1.2集合间的基本关系[目标]1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．[重点]集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．[难点]集合间的关系及应用．知识点一子集的有关概念[填一填]1．Venn图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．2．子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．(2)符号语言：记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．(3)图形语言：用Venn图表示．3．真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB(BA)．4．集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.2[答一答]1．若A⊆B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．“”与“”一样吗？提示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“”表示两实数间的关系．4．如何判断两个集合是否相等？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A⊆B且B⊆A.知识点二空集[填一填]不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．[答一答]5．0，{0}，∅，{∅}有何区别？提示：3知识点三子集、真子集的性质[填一填]由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(2)任何一个集合是它自身的子集，即A⊆A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C可得A⊆C；(5)对于集合A，B，C，由AB，BC可得AC.[答一答]6．(1)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，若AB，B⊆C呢？(2)若∅A，则A≠∅对吗？提示：(1)AC.(2)对．类型一确定集合的子集、真子集[例1](1)已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.(2)填写下表，并回答问题：集合集合的子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？[解](1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，4{1,2,3,4,5}．(2)集合集合的子集子集的个数∅∅1{a}∅，{a}2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b}4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：1确定所求集合；2合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；,3注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.[变式训练1]试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.解：因为∅M{0,1,2}．所以M为{0,1,2}的非空真子集．所以M中的元素个数为1或2，当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．类型二集合间关系的判断及应用命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系[例2](1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是()A．M＝NB．NMC．MND．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆BB．A⊇B5C．ABD．AB[答案](1)C(2)D[解析](1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知MN.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．判断两集合关系的步骤：1先对所给集合进行化简.2搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.[变式训练2]指出下列各组集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系[例3]能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的()[答案]B[解析]N＝{0,1}M.6用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会.[变式训练3]已知集合A＝{x|x2＝x，x∈R}，集合A与非空集合B的关系如图所示，则满足条件的集合B的个数为(B)A．1B．2C．3D．4解析：∵A＝{x|x2＝x，x∈R}＝{0,1}，又BA，且B为非空集合，∴B可以为{0}或{1}．故选B.命题视角3：利用数轴理解集合间的关系[例4]已知A＝{x|x－2或x3}，B＝{x|4x＋m0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围．[分析]解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析．[解]集合A在数轴上表示如图．要使A⊇B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，即B中元素必须都位于阴影部分内，那么由4x＋m0，即x－m4知，－m4≤－2，即m≥8，故实数m的取值范围是m≥8.在数轴上表示集合A与B时要注意，端点处都是空心点，所以当－m4＝－2时，集合B7为{x|x－2}，仍满足A⊇B.这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.[变式训练4]已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a2.(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.因为a≥1，所以1≤a≤2.1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则有(B)A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D解析：正方形是邻边相等的矩形．2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则(B)A．MNB．NMC．M＝ND．M，N的关系不确定解析：由题意，得N＝{0,1}，故NM.3．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有5个．解析：∵A{1,2,3}，∴A中至多含有2个元素．∵A中至少有一个奇数，∴A可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．4．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是a≤14.解析：∵∅{x|x2－x＋a＝0}．∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅，即方程x2－x＋a＝0有解，∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤14.5．已知集合B＝{－1,0,1}，若A⊆B，试写出所有满足条件的集合A.解：当A＝∅时，满足条件；当A是单元素集合时，满足条件的集合A有{－1}，{0}，{1}；当A是含两个元素的集合时，满足条件的集合A有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}；当A是含三个元素的集合时，满足条件的集合A为{－1,0,1}．故满足条件的集合A有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．8——本课须掌握的三大问题1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：∅和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A⊆B类问题时，需分类讨论A＝∅与A≠∅两种情况．3．要证明A＝B，只需要证明A⊆B且B⊆A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A⊆B.又设任意y0∈B，证明y0∈A，从而得到B⊆A，进而证明得到A＝B.学习至此，请完成课时作业3学科素养培优精品微课堂忽视空集导致漏解开讲啦空集是一种常见的集合，但空集又是平时学习时容易忽略的一个集合，下面通过实例体现一下空集在解题中的应用．[典例]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．[错解]欲使B⊆A，只需－2≤m＋1，2m－1≤5⇒－3≤m≤3.∴m的取值范围是－3≤m≤3.[正解]∵A＝{x|－2≤x≤5}，又B⊆A.(1)若B＝∅，则m＋12m－1，即m2，此时，总有B⊆A，故m2.(2)若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A得－2≤m＋1，2m－1≤5.解得2≤m≤3.综合(1)(2)可知m的取值范围是(－∞，3]．[错因分析]空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，因此需要对B＝∅与B≠∅两9种情况分别讨论确定m的取值范围．[对应训练]已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}，满足QP，求a的取值．解：因为P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝∅，QP成立．又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝－1a，要使QP成立，则有－1a＝2或－1a＝－3，即a＝－12或a＝13.综上所述，a＝0或a＝－12或a＝13.