2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念 第2课时 函数的定义

1第2课时函数的定义域与值域[目标]1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点]函数相等的概念，求函数的值域．[难点]求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：函数定义域对应关系值域f1(x)＝xRx→xRf2(x)＝2xRx→2xRf3(x)＝x2[0,2]x→x2[0,4]f4(x)＝x2[－1,2]x→x2[0,4]对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．22．f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合．3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合．4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f(x)＝x－1x－2＋(x－1)0的定义域为(D)A．{x|x≥1}B．{x|x1}C．{x|1≤x2或x2}D．{x|1x2或x2}解析：要使函数有意义，则只需x－1≥0，x－2≠0，x－1≠0，解得1x2或x2，所以函数的定义域为{x|1x2或x2}．故选D.知识点三函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指其函数值的集合：{f(x)|x∈A}；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y＝x2，x∈{0,1,2，－1}，函数y＝x2的值域是什么？提示：当x＝0时，y＝0；当x＝±1时，y＝1；当x＝2时，y＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．3类型一函数相等的判断[例1]下列各组函数：①f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；②f(x)＝xx，g(x)＝xx；③f(x)＝x＋1·1－x，g(x)＝1－x2；④f(x)＝x＋32，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)．[答案]③⑤[解析]①不同，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不同，对应法则不同，f(x)＝1x，g(x)＝x.③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1]下列各组中两个函数是否表示相等函数？(1)f(x)＝6x，g(x)＝63x3；(2)f(x)＝x2－9x－3，g(x)＝x＋3；(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.解：(1)g(x)＝63x3＝6x，它与f(x)＝6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数．4(2)f(x)＝x2－9x－3＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二函数的定义域命题视角1：求具体函数的定义域[例2]求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y＝x＋2＋1x2－x－6；(2)y＝x＋10|x|－x.[解](1)要使函数有意义，则有x＋2≥0，x2－x－6≠0⇒x≥－2，x≠－2且x≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足x＋1≠0，|x|－x0，解得x≠－1，x0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2]求下列函数的定义域：(1)y＝1－x＋1x＋5；(2)y＝31－1－x.解析：(1)由已知得1－x≥0，x＋5≠0，解得x≤1且x≠－5.所求定义域为{x|x≤1且x≠－5}．(2)由已知得1－x≥0，1－1－x≠0，解得x≤1且x≠0.5所求定义域为{x|x≤1且x≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3](1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域．(2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域．[分析]在对应关系相同的情况下，f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题．[解](1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]，即－1≤x≤4.故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4.∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤32.∴f(2x＋1)的定义域是－1，32.(2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.∴f(x)的定义域是[－1,9]．因为fgx就是用gx代替了fx中的x，所以gx的取值范围与fx中的x的取值范围相同.若已知函数fx的定义域为[a，b]，则函数fgx的定义域是指满足不等式a≤gx≤b的x的取值范围；而已知fgx的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求fx的定义域，就是求x∈[a，b]时gx的值域.[变式训练3]若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是(B)A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)解析：因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对于函数g(x)满足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．类型三求函数的值域[例4]求下列函数的值域．6(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；(4)y＝5x－14x＋2.[解](1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x6，∴－16≤3x－15，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)．(4)y＝5x－14x＋2＝544x＋2－1－1044x＋2＝544x＋2－1444x＋2＝54－724x＋2.∵724x＋2≠0，∴y≠54，∴函数y＝5x－14x＋2的值域为{y∈R|y≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.1对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；2对于二次函数，7可借助图象求函数的值域；3通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4]求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}；(2)y＝xx＋1；(3)y＝x2－4x，x∈[1,4]．解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}，∴y∈{1,3,7,9}．(2)∵y＝xx＋1＝x＋1－1x＋1＝1－1x＋1，且1x＋1≠0，∴函数y＝xx＋1的值域为{y|y≠1}．(3)配方，得y＝(x－2)2－4.∵x∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f(x)＝x＋1＋12－x的定义域为(A)A．[－1,2)∪(2，＋∞)B．(－1，＋∞)C．[－1,2)D．[－1，＋∞)解析：由x＋1≥0，2－x≠0，解得x≥－1且x≠2.故选A.2．函数f(x)＝x2＋1(0x≤2且x∈N*)的值域是(D)A．{x|x≥1}B．{x|x1}C．{2,3}D．{2,5}解析：∵0x≤2且x∈N*，∴x＝1或x＝2.∴f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2,5}．83．若函数f(x)与g(x)＝32－x－2是相等的函数，则函数f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x－2≠0，∴x≠6，又x－2≥0，∴x≥2，∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)．故f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f(x)的定义域为{x|－1x1}，则函数f(2x＋1)的定义域为{x|－1x0}．解析：因为f(x)的定义域为{x|－1x1}，所以－12x＋11，解得－1x0.所以f(2x＋1)的定义域为{x|－1x0}．5．试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1；(2)y＝5x＋4x－1；(3)y＝x－x＋1.解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．(2)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝5x＋4x－1＝5＋9x－1，所以函数的值域为{y|y≠5}．(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－12)2－54，又t≥0，故y≥－54，所以函数的值域为{y|y≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．9学习至此，请完成课时作业7学科素养培优精品微课堂复合函数与抽象函数开讲啦1.复合函数的概念如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点：(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围．(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的范围．(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同．[典例]若函数f(x)的定义域为[0,1]，求g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m0)的定义域．[解]∵f(x)的定义域为[0,1]，∴g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)中自变量x需满足0≤x＋m≤1，