2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数的概念 第1课时 函数的概念

1第1课时函数的概念[目标]1.理解函数的概念，明确函数的三要素；2.能正确使用区间表示数集；3.会判断两个函数是否相等；会求简单函数的函数值(或值域)和定义域，培养数学运算核心素养．[重点]函数概念的理解及对区间的认识．[难点]函数概念和符号y＝f(x)的理解及已知函数解析式求函数定义域的方法.知识点一函数的有关概念[填一填]1．定义2．相关名称(1)自变量是x.(2)函数的定义域是集合A.(3)函数的值域是集合{f(x)|x∈A}．3．函数的记法集合A上的函数可记作：f：A→B或y＝f(x)，x∈A.[答一答]1．任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？提示：不能．只有非空数集之间才能建立函数关系．2．对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？提示：根据函数的定义，对于定义域内的任意一个x，只有一个函数值与其对应．23．在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？提示：值域是集合B的子集．知识点二区间及有关概念[填一填]1．区间的定义条件：ab(a，b为实数)．结论：区间闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间符号[a，b](a，b)[a，b)(a，b]2.特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|xa}{x|x≤a}{x|xa}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[答一答]4．数集都能用区间表示吗？提示：区间是数集的又一种表示方法，但并不是所有数集都能用区间表示，如{1,2,3,4}，就不能用区间表示．5．“∞”是一个数吗？提示：“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数．因此以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．6．区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1，＋∞)，B＝(－∞，2]，A∩B如何表示？提示：区间只是集合的一种表示形式，因此对于集合的“交、并、补”运算仍然成立．A∩B＝(1,2]．类型一函数的概念[例1]下列对应关系是集合A到集合B的函数的个数是()①A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|；②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；3③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0；⑤A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示．A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]序号正误原因①×集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，故①不是集合A到集合B的函数②√对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2与其对应，故②是集合A到集合B的函数③×集合A中的元素是负数时，没有算术平方根，即在集合B中没有对应的元素，故③不是集合A到集合B的函数④√对于集合A中的任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，故④是集合A到集合B的函数⑤×集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与之对应，故⑤不是集合A到集合B的函数1判断一个对应关系是否是函数，要从以下三方面去判断：①A，B必须是非空数集；②A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；③A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应.2函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中的变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.[变式训练1]下列对应关系或关系式中，是A到B的函数的是(B)A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈BB．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图4C．A＝R，B＝R,f：x→y＝1x－2D．A＝Z，B＝Z,f：x→y＝2x－1解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值不一定唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．类型二函数的图象特征[例2]设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()[答案]B[解析]A中，当1x≤2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性，所以不能构成函数关系；B中，同时满足任意性与唯一性．能构成函数关系；C中，当x＝0或x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性，不能构成函数关系；D中x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故选B.判定图形是否是函数的图象的方法：(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内移动直线l；5(3)若l与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不是函数．例如：[变式训练2]下图中的图象能够作为函数y＝f(x)的图象的有(A)A．2个B．3个C．4个D．5个解析：由函数的定义可知(1)(5)可作为函数图象，(2)、(3)、(4)对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象．故选A.类型三用区间表示数集[例3]把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－2}；(2){x|x0}；(3){x|－1x1，或2≤x6}．[分析]依据区间定义写出集合对应的区间，要注意端点的“取”、“舍”与中括号、小括号的关系．[解](1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)；(2){x|x0}用区间表示为(－∞，0)；(3){x|－1x1，或2≤x6}用区间表示为(－1,1)∪[2,6)．6区间是数集的另一种表示形式，它具有简单、直观的优点，是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具.使用时要按要求书写.[变式训练3]集合{x|2≤x5}用区间表示为[2,5)；集合{x|x≤－1，或3x4}用区间表示为(－∞，－1]∪(3,4)．类型四函数的求值问题[例4]设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[分析]求函数值，首先注意自变量的取值是否在函数的定义域内，然后才能代入运算；对于复合函数，要注意函数值不同的“身份”，函数值在复合函数中也会充当某些函数定义域内的元素．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)，g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1fx＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.1已知函数y＝fx，fa表示当x＝a时fx的函数值，是一个常量，而fx是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，fa是fx的一个特殊值.2求形如fgx的函数值时，应遵循先内后外的原则.3若是抽象函数求值问题，则一般采用赋值法.7[变式训练4](1)设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝3，g(2)＝8，f(g(2))＝15.(2)已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝73.解析：(1)f(2)＝2×2－1＝3；g(2)＝3×2＋2＝8；f(g(2))＝f(8)＝2×8－1＝15.(2)令3x＋2＝4，得x＝23.又a＝2x＋1＝73，∴a＝73.1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)图象的只可能是(D)解析：根据函数定义，每一个x值对应唯一的y值，选D.2．已知函数f(x)＝3x，则f(1a)＝(D)A.1aB.3aC．aD．3a解析：f(1a)＝31a＝3a.3．集合{x|－1≤x5，且x≠3}用区间表示为[－1,3)∪(3,5)．4．已知函数f(x)＝2x－1，则f[f(2)]＝5.解析：∵f(2)＝2×2－1＝3，∴f[f(2)]＝f(3)＝3×2－1＝5.5．已知函数f(x)＝x＋1x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．8解：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋1－1＝－2,f(2)＝2＋12＝52.(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋1a＋1.——本课须掌握的两大问题1．函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应．这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．2．对符号f(x)的理解(1)f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开写符号f(x)，如f，x，(x)等都是没有意义的．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．(2)函数符号f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字、描述等．(3)f(x)与f(a)，a∈A的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量．学习至此，请完成课时作业69