2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表

1第1课时函数的表示法[目标]1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点]函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点]求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：2类型一列表法表示函数[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[答案]11[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量3对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)131x123g(x)321则g(f(2))＝1；f(g(2))＝3.解析：∵f(2)＝3，g(2)＝2，∴g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(2))＝f(2)＝3.类型二图象法表示函数[例2]作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[分析]列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察,图象求得值域.[解](1)列表：x0121322y12345当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．4(2)列表：x2345…y1231225…当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表：x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．5由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：1在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．6类型三解析法表示函数[例3]求函数的解析式．(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知2f1x＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．[解](1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)．则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.所以k2＝9，kb＋b＝4.解得k＝3，b＝1，或k＝－3，b＝－2.所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.(2)法1：(配凑法)因为f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)．法2：(换元法)令x＋1＝t(t≥1)．则x＝(t－1)2(t≥1)．所以f(t)＝(t－1)2＋2t－12＝t2－1(t≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)f(x)＋2f1x＝x，令x＝1x，得f1x＋2f(x)＝1x.于是得关于f(x)与f1x的方程组7fx＋2f1x＝x，f1x＋2fx＝1x.解得f(x)＝23x－x3(x≠0)．求函数解析式的方法：1代入法：已知fx的解析式，求f[gx]的解析式常用代入法.2配凑法：已知f[gx]的解析式，求fx的解析式时，可先从f[gx]的解析式中拼凑出“gx”，即把“gx”作为整体，再将解析式的两边的gx用x代替即可求得fx的解析式.3换元法：已知f[gx]的解析式，要求fx的解析式时，可令t＝gx，利用t表示出x，然后代入f[gx]中，最后把t换为x即可.注意换元后新元的范围.4待定系数法：已知fx的函数类型，求fx的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.[变式训练3](1)已知f1x＝x1－x2，求f(x)；(2)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f[g(x)]＝4x2－20x＋25，求g(x)的表达式．解：(1)设t＝1x，则x＝1t(t≠0)，代入f1x＝x1－x2，得f(t)＝1t1－1t2＝tt2－1(t≠0)，故f(x)＝xx2－1(x≠0)．(2)由g(x)为一次函数，设g(x)＝ax＋b(a0)，∵f[g(x)]＝4x2－20x＋25，∴(ax＋b)2＝4x2－20x＋25，即a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，从而a2＝4,2ab＝－20，b2＝25，8解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R).1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为(D)A．f(x)＝－xB．f(x)＝x－1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x＋1解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有a＋b＝0，b＝1，所以a＝－1，b＝1，f(x)＝－x＋1.2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))＝(B)x123f(x)230A．3B．2C．1D．0解析：由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2.3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式为f(x)＝3x＋2.解析：解法一：令2x＋1＝t，则x＝t－12.∴f(t)＝6×t－12＋5＝3t＋2，∴f(x)＝3x＋2.解法二：∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，∴f(x)＝3x＋2.4．若一个长方体的高为80cm，长比宽多10cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是y＝80x2＋800x,_x∈(0，＋∞)．解析：由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x0，化简为：y＝80x2＋800x，x∈(0，＋∞)．5．某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．解：用列表法表示如下：9用图象法表示，如图所示．用解析法表示为y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．10学习至此，请完成课时作业8学科素养培优精品微课堂函数图象对称变换与翻折变换开讲啦函数图象的对称变换与翻折变换是图象变换常见的类型，其规律如下：1．对称变换：(1)函数y＝f(－x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于y轴作对称变换即可得到．(2)函数y＝－f(x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于x轴作对称变换即可得到．(3)函数y＝－f(－x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于原点作对称变换即可得到．(4)函数y＝f(2a－x)的图象由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a作对称变换即可得到．2．翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象由函数y＝f(x)的图象的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的图象的x轴及x轴上方部分即可得到．(2)函数y＝f(|x|)的图象由函数y＝f(x)的图象的y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧，替代原y轴左侧部分，并保留y＝f(x)的图象的y轴及y轴右侧部分即可得到．[典例]已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则以下四个函数y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象和下面四个图象的正确对应关系是()A．①②④③B．①②③④C．④③②①D．④③①②[解析]所给①②③④四个图象与已知函数图象的关系分别为关于y轴对称；关于x轴对称；x轴下方的图象以x轴为对称轴进行翻折；y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧，替代原左侧部分，所以正确的对应关系为①②④③.故选A.[答案]A11[对应训练]已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(B)解析：y＝f(x)――→关于y轴对称y＝f(－x)――→向右平移2个单位y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)――→关于x轴对称y＝－f(2－x)．12