浙江省杭州二中2020届高三数学3月月考试题

1浙江省杭州二中2020届高三数学3月月考试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M＝{x|1≤x≤3}，N＝{x|x2}，则集合M∩(∁RN)等于()A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|1≤x2}D．{x|2x≤3}2．设双曲线x2a2－y29＝1(a0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为()A.35B.45C.54D.533．已知x，y∈R，且xy0，若ab1，则一定有()A．logaxlogbyB．sinaxsinbyC．aybxD．axby4．将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为()A.π12B.π6C.π3D.5π65．函数f(x)＝e|x－1|－2cos(x－1)的部分图象可能是()6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)的最大值为()A.23B.59C.29D.3427．已知单位向量e1，e2，且e1·e2＝－12，若向量a满足(a－e1)·(a－e2)＝54，则|a|的取值范围为()A.2－32，2＋32B.2－12，2＋12C.0，2＋12D.0，2＋328.在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图，则直线BA′与CD所成角的取值范围是()A.π3，π2B.π6，π3C.π6，π2D.0，π39．已知函数f(x)＝2x－x2，0≤x2，2fx－2，x≥2，g(x)＝kx＋2，若函数F(x)＝f(x)－g(x)在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k的值不可能为()A．－23B．－12C．－34D．－110．已知数列满足，a1＝1，a2＝12，且[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*，记T2n为数列{an}的前2n项和，数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式T2n＋1bn·1bn1成立的最小整数n为()A．7B．6C．5D．4二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若3x－1xn的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n＝________；该展开式中的常数项是____________．12．已知实数x，y满足x≥1，x－2y＋1≤0，x＋y≤m，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m的取值范围为_______，如果目标函数z＝2x－y的最小值为－1，则实数m＝________.313．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a＝________，该几何体的表面积为________．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若a＝7，c＝3，A＝60°，则b＝________，△ABC的面积S＝________.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．16．若实数,xy满足221xy，则2263xyxy的最小值是________．17．设点P是△ABC所在平面内一动点，满足CP→＝λCA→＋μCB→，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R)，|PA→|＝|PB→|＝|PC→|.若|AB→|＝3，则△ABC面积的最大值是________．三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数2()3sincoscos(0)fxxxx的最小正周期为，(1)求的值；(2)若07[,]412x且031()32fx，求0cos2x的值。419．(15分)如图，已知四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分别为BE，BP，PC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面GHF；(2)求直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值．20．(15分)已知数列{an}满足：a1＝12，an＋1＝1ena－(n∈N*)．(其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…)(1)证明：an＋1an(n∈N*)；(2)设bn＝1－an，是否存在实数M0，使得b1＋b2＋…＋bn≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．521．(15分)如图，O为坐标原点，点F为抛物线21:2,(0)Cxpyp的焦点，且抛物线1C上点P处的切线与圆22:1Oxy相切于点Q,（1）当直线PQ的方程为20xy时，求抛物线1C的方程；（2）当正数p变化时，记12,SS分别为,FPQFOQ的面积，求12SS的最小值。622．(15分)已知函数f(x)＝ex－exsinx，x∈0，π2(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若不等式f(x)≥k(x－1)(1－sinx)对任意x∈0，π2恒成立，求实数k的取值范围；(3)证明：ex－1＞－12(x－32)2＋1.7杭州二中高三三月月考数学卷参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．答案A解析∵N＝{x|x2}，∴∁RN＝{x|x≤2}，∴集合M∩(∁RN)＝{x|1≤x≤2}．2．答案C解析因为双曲线x2a2－y29＝1(a0)的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4.所以离心率e＝54.3．答案D解析当xy0，ab1时，由指数函数和幂的性质易得axayby.4．答案B解析设y＝cos(2x＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g(x)，则g(x)＝cos2x－2π3＋φ，因为g(x)为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝kπ＋7π6(k∈Z)，故当k＝－1时，|φ|min＝π6.5．答案A解析因为f(1)＝－1，所以排除B；因为f(0)＝e－2cos10，所以排除D；因为当x2时，f(x)＝ex－1－2cos(x－1)，∴f′(x)＝ex－1＋2sin(x－1)e－20，即x2时，f(x)具有单调性，排除C.6．答案A解析由分布列得a＋b＋c＝1，又因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，则a＋c＝23，所以E(ξ)＝c－a，D(ξ)＝a(c－a＋1)2＋b(c－a)2＋c(c－a－1)2＝a(c－a)2＋b(c－a)2＋c(c－a)2＋2a(c－a)＋a－2c(c－a)＋c＝－(c－a)2＋23，则当a＝c时，D(ξ)取得最大值23.7．答案B8解析因为向量e1，e2为单位向量，且e1·e2＝|e1|·|e2|·cos〈e1，e2〉＝－12，所以|e1＋e2|＝1＋1＋2×－12＝1.因为(a－e1)·(a－e2)＝54，所以a2－a·(e1＋e2)＋e1·e2＝54，所以|a|2－a·(e1＋e2)＝74，所以|a|2－|a|·cos〈a，e1＋e2〉＝74，所以cos〈a，e1＋e2〉＝|a|2－74|a|，又因为－1≤cos〈a，e1＋e2〉≤1，所以|a|的取值范围为2－12，2＋12.8.答案A解析在等腰梯形ABCD中，易知∠ABC＝π3，∠ABD＝∠CBD＝π6，则∠A′BD＝π6，为定值，所以BA′的轨迹可看作是以BD为轴，B为顶点，母线与轴的夹角为π6的圆锥的侧面，故点A′的轨迹如图中AF所示，其中F为BC的中点．过点B作CD的平行线，过点C作BD的平行线，两平行线交于点E，则直线BA′与BE所成的角即直线BA′与CD所成的角．又易知CD⊥BD，所以直线A′B与CD所成角的取值范围是π3，π2，故选A.9．答案A解析函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点，在同一直角坐标系下作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示，当函数y＝g(x)的图象经过点(2,0)时满足条件，此时k＝2－00－2＝－1，当函数y＝g(x)的图象经过点(4,0)时满足条件，此时k＝2－00－4＝－12，当函数y＝g(x)的图象与(x－1)2＋y2＝1(x0，y0)相切时也满足题意，此时|k＋2|1＋k2＝1，解得k＝－34，故选A.10．答案C解析因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*，∴当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(19－1)＝0，n∈N*，即an＋2an＝12，∴a2，a4，a6，…是以a2＝12为首项，以12为公比的等比数列；当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，n∈N*，即an＋2－an＝2，∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以2为公差的等差数列，T2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝n2＋1－12n，∵数列{bn}是首项和公比都是2的等比数列，bn＝2×2n－1＝2n，则T2n＋1bn·1bn1等价为n2＋1－12n＋12n·12n1，即(n2＋1)·12n1，即n2＋12n，分析函数y＝n2＋1与y＝2n，则当n＝1时，2＝2，当n＝2时，54不成立，当n＝3时，108不成立，当n＝4时，1716不成立，当n＝5时，2632成立，当n≥5时，n2＋12n恒成立，故使不等式T2n＋1bn·1bn1成立的最小整数n为5.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．答案3－27解析所求系数的绝对值之和相当于3x＋1xn中所有项的系数之和，则在3x＋1xn中令x＝1，得(3＋1)n＝64，所以n＝3；3x－1x3的通项为Tk＋1＝Ck3(3x)3－k－1xk＝Ck3·33－k·(－1)k332kx，令3－3k2＝0，则k＝1，常数项为C13×32×(－1)1＝－27.12．答案(2，＋∞)4解析要使不等式组x≥1，x－2y＋1≤0，x＋y≤m所表示的平面区域形状为三角形，直线x＝1与直线x－2y＋1＝0的交点(1,1)必在直线的左下方，所以m2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，由z＝2x－y得y＝2x－z，由图可知，当直线y＝2x－z过点A(1，m－1)时在y轴上的截距最大，z最小，所以，－1＝2×1－(m－1)，解得m＝4.13．答案13＋510解析如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a的正方形，平面SAB⊥平面ABCD，并且∠SAB＝90°，SA＝2，所以体积是V＝13×a2×2＝23，解得a＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S＝12＋12×1×2＋12×1×5＋12×1×2＋12×1×5＝3＋5.14．答案1或2334或332解析由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即7＝b2＋9－2b×3cos60°，即b2－3b＋2＝0，解得b＝1或2,当b＝1时，S＝12bcsinA＝12×1×3×sin60°＝334，同理当b＝2时，S＝332.15.答案312解析根据题意，分3种情况讨论：①取出的3个点都在圆内，C34＝4，即有4种取法；②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C24C110＝60，即有60种取法；③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C14()C212－4＝248，即有248种取法．则至少有一个顶点在圆内的三角形有4＋60＋248＝312(个)．16．答案3解析因为221xy表示圆221xy及其内部，易得直线630xy与圆相离，所以6363xyxy，当220xy时，226324xyxyxy，如图