（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第1讲 空间几何体教案

-1-第1讲空间几何体空间几何体与三视图[核心提炼]1．三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先由俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体．[典型例题](1)(2019·温州瑞安七中高考模拟)下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线(2)(2019·杭州市五校联考)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()【解析】(1)A.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B.如图(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D.根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D.(2)-2-因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为A.【答案】(1)D(2)A(1)判断与几何体结构特征有关问题的技巧把握几何体的结构特征，熟悉空间几何体性质，能够根据条件构建几何模型，从而判断命题的真假，有时也可通过反例对结构特征进行辨析．(2)已知几何体识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面的实虚．[对点训练]1．(2019·福州市综合质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：选C.由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P­ABCD，易知四棱锥P­ABCD的四个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.2．图①是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥A1­AB1D1后得到的几何体，将其绕着棱DD1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为()-3-解析：选B.由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB在正视图中的长为2，棱CC1在正视图中为虚线，D1A，B1A在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.空间几何体的表面积与体积[核心提炼]1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；(2)S锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；(3)S台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；(3)V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S，S′分别为上下底面面积，h为高)(不要求记忆)．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()-4-A．158B．162C．182D．324(2)(2019·浙江高校招生选考试题)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图(2)所示几何体，则该几何体的体积为()A.34B.1724C.23D.12(3)(2019·宁波十校联合模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________cm3，表面积为________cm2.【解析】(1)由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V＝12×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.故选B.(2)把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到几何体的体积：V＝VABCD­A1B1C1D1－VA­A1B1D1－VB­A1B1C1＋VN­A1B1M＝1×1×1－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＋13×12×22×22×12＝1724.-5-(3)由已知三视图得到几何体是一个底面直角边分别为3，4的直角三角形，高为5的三棱柱，割去一个底面与三棱柱底面相同，高为3的三棱锥，所以该几何体的体积为：12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24cm3；表面积为：12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×3＋12×3×4＋5×5＋34×52＝1112＋2543cm2.【答案】(1)B(2)B(3)241112＋2534(1)求解几何体的表面积及体积的技巧①求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．②求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．(2)根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤第一步：根据给出的三视图判断该几何体的形状．第二步：由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．第三步：套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[对点训练]1．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3-6-C.3π2＋1D.3π2＋3解析：选A.由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.2．(2019·浙江名校协作体高三联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3cm3，则正视图中的x的值是________cm，该几何体的表面积是________cm2.解析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，13×12×(1＋2)×3x＝3⇒x＝2，侧面ADS，CDS，ABS为直角三角形，侧面BCS是以BC为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为S＝12[(1＋2)×3＋2×2＋3×2＋1×7＋2×7]＝53＋37＋42.答案：253＋37＋42多面体与球的切接问题[核心提炼]与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．[典型例题](1)(2019·浙江高考冲刺卷)已知一个棱长为4的正方体，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是()A．211B．210C．6D．42(2)已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【解析】(1)如图所示，球的半径为23，球心(2，2，2)，M(4，0，-7-2)，N(0，2，4)，MN的中点(2，1，3)，球心到MN的距离为2，所以该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是212－2＝210，故选B.(2)设球O的半径为R，因为SC为球O的直径，所以点O为SC的中点，连接AO，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以AO⊥平面SCB，所以VS­ABC＝VA­SBC＝13×S△SBC×AO＝13×(12×SC×OB)×AO，即9＝13×(12×2R×R)×R，解得R＝3，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】(1)B(2)36π多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．[对点训练]1．(2019·嘉兴一模)如图，这是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为()A.20π3B．8πC．9πD.19π3解析：选D.如图，该几何体为三棱锥A­BCD，设三棱锥外接球的球心为O，O1，O2分别为△BCD，△ABD的外心，依题意得，OO1＝36AB＝33，O1D＝12CD＝52，所以球的半径R＝OO21＋O1D2＝1912，所以该几何体外接球的表面积S＝4πR2＝19π3.-8-2．(2019·金华十校联考)在正三棱锥S­ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S­ABC的体积为________，其外接球的表面积为________．解析：取AC中点D，则SD⊥AC，DB⊥AC，又因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SDB，因为SB⊂平面SBD，所以AC⊥SB，又因为AM⊥SB，AM∩AC＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SA⊥SB，SC⊥SB，根据对称性可知SA⊥SC，从而可知SA，SB，SC两两垂直，将其补为立方体，其棱长为2，所以VS­ABC＝SC­ASB＝13×12×2×2×2＝43，其外接球即为立方体的外接球，半径r＝32×2＝3，表面积S＝4π×3＝12π.答案：4312π专题强化训练1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是()A．4B．8C．12D．16解析：选D.如图，以AA1为底面矩形一边的四边形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E这4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D.2．正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()-9-解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3B．12cm3C．323cm3D．403cm3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323(cm3)．4．(2019·台州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于()A．34B．41C．52D．215解析：选C.由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC⊥平面ABC，AC⊥AB，所以最长的棱长为SB＝52.-10-5．(2019·金华十校联考)某几何体的三视图如图所示，