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-1-第五节椭圆[最新考纲]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.①当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.-2-(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－b2a2，即kAB＝－b2x0a2y0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线的斜率)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()-3-(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材改编1．若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1B.x2100＋y29＝1C.y225＋x216＝1D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝1A[设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝a2－c2＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.故选A.]2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22B.2－12C．2－2D.2－1D[法一：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则b2a＝2c，即a2－c2a＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0e1，解得e＝2－1.故选D.法二：因为△F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝22c.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以22c＋2c＝2a，所以e＝ca＝12＋1＝2－1.故选D.]3．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是．(3,4)∪(4,5)[由已知得5－k＞0，k－3＞0，5－k≠k－3.解得3＜k＜5且k≠4.]4．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为．-4-x24＋y23＝1[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.]第1课时椭圆及其性质考点1椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆(2)F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B.74C.72D.752(1)A(2)C[(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)由题意得a＝3，b＝7，c＝2，-5-∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.∴|AF1|＝72，∴S△AF1F2＝12×72×22×22＝72.]本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积．[教师备选例题]设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为．－5[由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝6－32＋4－02＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝.3[设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2＝9，所以b＝3.]考点2椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.1.在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.x225＋y29＝1(y≠0)B.y225＋x29＝1(y≠0)-6-C.x216＋y29＝1(y≠0)D.y216＋x29＝1(y≠0)A[由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则a＝5，c＝4，从而b＝3.由A，B，C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是x225＋y29＝1(y≠0)．]2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264－y248＝1B.x248＋y264＝1C.x248－y264＝1D.x264＋y248＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，则a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的轨迹方程为x264＋y248＝1.]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为．y210＋x26＝1[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由－322m＋522n＝1，3m＋5n＝1，解得m＝16，n＝110.∴椭圆方程为y210＋x26＝1.]-7-2．过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为．y220＋x24＝1[法一：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上，∴－52a2＋32b2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.]3．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．x2＋32y2＝1[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．又∵|AF1|＝3|F1B|，-8-∴由AF1→＝3F1B→得B－5c3，－b23，代入x2＋y2b2＝1得25c29＋b49b2＝1.又c2＝1－b2，∴b2＝23.故椭圆E的方程为x2＋32y2＝1.](1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为2b2a.考点3椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．(1)已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5(2)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为．(1)A(2)x29＋y28＝1[(1)因为椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，所以