2021高考数学一轮复习 第8章 立体几何初步 第4节 垂直关系教学案 文 北师大版

-1-第四节垂直关系[最新考纲]1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第131页)1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理-2-文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[常用结论]1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材改编1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γA[两个平面垂直，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故A错误．选A.]2．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S­EFG中必有()-3-A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面A[四面体S­EFG如图所示：由SG⊥GE，SG⊥GF.且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面．故选A.]3．如图，三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，则二面角V­AB­C的度数为________．60°[如图，取AB的中点D，连接VD，CD.由VA＝VB＝AC＝BC知，VD⊥AB，CD⊥AB，从而∠VDC就是二面角V­AB­C的平面角．在△VAB和△ABC中分别求得VD＝CD＝1，因此△VDC是等边三角形，故∠VDC＝60°.]4．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．(1)外(2)垂[(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．-4-图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．](对应学生用书第132页)⊙考点1直线与平面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．证明直线与平面垂直如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱BC的中点，BB1＝3，AB1＝10，∠CBB1＝60°.(1)求证：AM⊥平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABC­A1B1C1的体积．[解](1)证明：如图，连接B1M，因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AM⊥BC，且AM＝3，-5-因为BB1＝3，∠CBB1＝60°，BM＝1，所以B1M2＝12＋32－2×1×3×cos60°＝7，所以B1M＝7.又因为AB1＝10，所以AM2＋B1M2＝10＝AB21，所以AM⊥B1M.又因为B1M∩BC＝M，所以AM⊥平面BCC1B1.(2)设斜三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V，则V＝3VB1­ABC＝3VA­B1BC＝3×13S△B1BC·|AM|＝12×2×3×sin60°×3＝92.所以斜三棱柱ABC­A1B1C1的体积为92.(1)已知线段的长度，一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直，如本例第(1)问．(2)解答本例第(2)问时，易误认为B1M是斜三棱柱ABC­A1B1C1的高，从而得到错误答案．证明空间两条直线垂直(2019·成都模拟)如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且AB∥EF，AF＝2，EF＝2AB＝4AD＝42，平面ABCD⊥平面ABEF.(1)求证：BE⊥DF；(2)求三棱锥C­AEF的体积V.[解](1)证明：取EF的中点G，连接AG.∵EF＝2AB，∴AB＝EG.又AB∥EG，∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG∥BE，且AG＝BE＝AF＝2.在△AGF中，GF＝12EF＝22，AG＝AF＝2，-6-∴AG2＋AF2＝GF2，∴AG⊥AF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB.又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴AD⊥平面ABEF.又AG平面ABEF，∴AD⊥AG.∵AD∩AF＝A，∴AG⊥平面ADF.又∵AG∥BE，∴BE⊥平面ADF.又DF平面ADF，∴BE⊥DF.(2)连接DE.∵CD∥AB，且CD平面ABEF，AB平面ABEF，∴CD∥平面ABEF，∴VC­AEF＝VD­AEF.由(1)得，AD⊥平面ABEF，S△AEF＝12×42×2＝4，∴VC­AEF＝VD­AEF＝13×4×2＝423.证明线线垂直一般是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直．[教师备选例题](2017·江苏高考)如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.-7-因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.-8-如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.⊙考点2面面垂直的判定与性质证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化(1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()-9-A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝322＋22＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7.∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.](2)(2019·青岛模拟)如图，四棱锥P­ABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，PA，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.-10-①证明：平面PAE⊥平面STRQ；②若AB＝1，求三棱锥Q­BCT的体积．[解]①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE为矩形，所以AE⊥CD.由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，故AE⊥平面PCD，又因为AE平面ABCD.故平面PCD⊥平面ABCD.因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.因为RQ平面ABCD，所以RQ⊥PE.又PE∩AE＝E，所以RQ⊥平面PAE.所以平面PAE⊥平面STRQ.②由①可知，PE⊥平面ABCD，又T是PB的中点，∴点T到平面BCQ的距离为12PE＝32，易知S△BCQ＝12S梯形ABCD＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q­BCT的体积V＝13×334×32＝38.解答本例T(2)第(2)问时，借助已知的点面距求高，这是常用的方法，求S△BCQ时，可先求底边和高，再求面积．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.-11-(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q­ABP的体积．[解](1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，且