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-1-层级一第一练集合与常用逻辑用语、算法[考情考向·高考导航]1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．2．常用逻辑用语：重点考查含有量词的命题的否定，充分必要条件的判断，常与不等式、平面向量等交汇．3．算法：重点考查程序框图、循环结构和算法思想，难度为中低档．[真题体验]1．(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1}D．{0,1,2}解析：A[本题考查了集合交集的求法，是基础题．由题意得，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝{－1,0,1}．故选A.]2．(山东卷)已知命题p：∃x∈R,x2－x＋1≥0；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧qC.p∧qD．p∧q解析：B[由x＝0时x2－x＋1≥0成立知p是真命题，由12＜(－2)2，但1＞(－2)可知q是假命题，故选B.]3．(2019·北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：C[本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查．b＝0时，f(x)＝cosx＋bsinx＝cosx，f(x)为偶函数；f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)对任意的x恒成立，f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinxcosx＋bsinx＝cosx－bsinx，得bsinx＝0对任意的x恒成立，从而b＝0.从而“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.]4．(2019·全国Ⅰ卷)-2-如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入()A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A解析：A[∵k＝1，A＝12＋12，k＝2，A＝12＋12＋12，故A＝12＋A，选A.][主干整合]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．充分条件与必要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有-3-从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，qp)ABp是q的必要不充分条件(q⇒p，pq)BAp是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(pq，qp)A与B互不包含3.简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真才为真；p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(p)∧(q)；命题p∧q的否定是(p)∧(q)．4．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定为p：∃x0∈M，p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定为p：∀x∈M，p(x)．5．程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．热点一集合的关系与运算[题组突破]1．(2020·安徽皖东名校联盟联考)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|(x－1)(3－x)＞0}，则A∩(∁RB)＝()A．(－2,3)B．(－2,1)-4-C．(－2,1]D．(1,2)解析：C[由题意知，B＝{x|1＜x＜3}，∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，则A∩(∁RB)＝(－2,1]．]2．(2020·河北九校联考)已知集合M＝{x|x＜2}，N＝{x|x2－x＜0}，则下列结论正确的是()A．M∪N＝RB．M∪(∁RN)＝RC．N∪(∁RM)＝RD．M∩N＝M解析：B[因为N＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，所以∁RN＝{x|x≤0，或x≥1}，所以M∪(∁RN)＝R.故选B.]3．(2020·湖北六校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x＜3}B．{x|－3＜x≤1}C．{x|x＜2}D．{x|－2＜x≤1}解析：D[依题意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－2＜x≤1}，选D.]4．(2019·兰州三模)已知集合A＝{x|x2≥16}，B＝{m}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－4)B．[4，＋∞)C．[－4,4]D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：D[A∪B＝A⇔B⊆A，集合A＝(－∞，－4]∪[4，＋∞)，所以m≤－4或者m≥4，即m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．故选D.]5．(2020·衡水模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是()A．3B．4C．8D．9解析：B[根据给出的新定义A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素有：(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)共4个，此时log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1均为自然数，共4个．]6．(双空填空题)已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，则∁UA＝______，∁UB＝________.答案：{x|x是直角三角形或钝角三角形}{x|x是不等腰三角形}-5-集合运算的常用方法(1)若给定的集合是不等式的解集，则用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，则用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，则用Venn图求解．在写集合的子集时，易忽略空集：在应用A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．热点二常用逻辑用语命题的真假判断与否定[例1](1)(2020·西安模拟)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则()A．p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0C．p是真命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0[解析]B[(1)∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2(3x＋1)＞0，∴p是假命题；p：∀x∈R，log2(3x＋1)＞0.故应选B.](2)(2020·贵阳模拟)已知：命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0；命题q：∀m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解，在①p∨q；②p∧q；③(p)∧q；④(p)∨(q)中，为真命题的是()A．②③B．②④C．③④D．①④[解析]D[因为f(－x)＝f(x)，所以1＋|a＋1|＝1＋|a－1|，解得a＝0，故命题p为真命题；又因为当Δ＝4－4m≥0，即m≤1时，方程有解，所以q为假命题．所以p∨q与(p)∨(q)为真命题，故选D.](3)(2018·北京卷)能说明“若a＞b，则1a＜1b”为假命题的一组，a，b的值依次为________．[解析]使“若a＞b，则1a＜1b”为假命题，则使“若a＞b，则1a≥1b”为真命题即可只需让a＝1，b＝－1即可满足所以满足条件的一组a，b的值为1，－1(答案不唯一)[答案]1，－1-6-1．全称命题与特称命题真假的判定(1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；(2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．2．对含有量词的命题进行否定时注意：只改全称量词为存在量词、存在量词为全称量词，并否定结论，特别注意不要否定量词后面的内容，如本例(1)中不要否定∃x∈R中的x∈R.充分、必要条件的判断逻辑推理素养充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养.[例2](1)(2019·全国Ⅱ卷)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[解析]B[若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B.](2)(2020·泉州调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]C[法一：∵数列{an}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．故选C.-7-法二：∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充分必要条件．故选C.](3)(2019·潍坊三模)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]A[因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以p：x＋y＝－2，q：x＝－1，且y＝－1，因为q⇒p但pq，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．]充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题，如p是q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；p是q的充要条件⇔p是q的充要条件．(1)(2020·陕西西安中学质检)下列命题中，假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0B．∃x0∈N*，(x0－1)2＞0C．∀x∈R，lgx＜1D．∃x0∈R，tanx0＝2解析：C[对于C，x＝10时，lg10＝1，是假命题．](2)(2019·日照三模)设向量a＝(x－1,1)，b＝(3，x＋1)，则“a∥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：C[∵a∥b，∴x2－1＝3，即x＝±2，∴“a∥b”是“x＝2”的必要不充分条件．故选C.](3)(2020·江西抚州七校联考)若命题“∃x0∈R，x20＋2mx0＋m＋2＜0”为假命题，则m的取值范围是()A．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)-8-C．[－1,2]D．(－1,2)解析：C[命题的否定是“∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.](4)(双空填空题)已知集合{