2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题六 概率与统计 第3讲 概率、随机变量及其分布教学案（理）

-1-(理)第3讲概率、随机变量及其分布[考情考向·高考导航]1．考查古典概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，多为容易或中等难度题．2．对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，重点考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等．以解答题的形式出现，难度中档或偏下．[真题体验]1．(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4解析：B[不妨设正方形边长为a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为＝π8，选B.]2．(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)P(X＝6)，则P＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：B[X～B(10，p)，所以10p(1－p)＝2.4，且C410p4(1－p)6C610p6(1－p)4.-2-即p＝25或p＝35p12，∴p＝0.6.]3．(2019·天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故X～B3，23，从而P(X＝k)＝Ck323k133－k，(k＝0,1,2,3.)所以，随机变量X的分布列为X0123P1272949827随机变量X的数学期望E(X)＝3×23＝2.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B3，23，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(Ⅰ)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝827×29＋49×127＝20243.[主干整合]1．概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式．P(A)＝mn＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数.(2)几何概型的概率公式．P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.(3)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．-3-(4)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(A)＝1－P(A)．2．独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.3．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.4．离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量ξ的分布列为ξx1x2x3…xi…nPp1p2p3…pi…pn离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质；①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)．(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值．D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差．(3)数学期望、方差的性质．①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．热点一古典概型、几何概型[例1](1)(2019·全国Ⅰ卷)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132-4-C.2132D.1116[解析]A[在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C36＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝2064＝516.故选A.](2)(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3[解析]A[法一：∵S△ABC＝12AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为12π·AB22＝π8AB2，以AC为直径的半圆的面积为12π·AC22＝π8AC2，以BC为直径的半圆的面积为12π·BC22＝π8BC2，∴SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，SⅡ＝π8AB2＋π8AC2－π8BC2－12AB·AC＝12·AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝SⅠS总，p2＝SⅡS总，∴p1＝p2.故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝12×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－222－2＝2，-5-区域Ⅲ的面积S3＝222－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝2π＋2，p3＝π－2π＋2，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.]1．求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏．2．计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．(1)(2019·武汉二模)某校选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，则甲、乙两人不在同一边远地区的概率是________．解析：选定4名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，不同的支教方法有C24·A33种．而甲、乙两人在同一边远地区支教的不同方法有C22·A33种，所以甲、乙两人不在同一边远地区支教的概率为P＝1－C22·A33C24·A33＝56.答案：56(2)(2020·贵阳模拟)折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，该点落在阴影部分的概率为________．解析：设AB＝2，则BG＝1，AG＝5，故多边形AEFGHID的面积S＝5×5×2＋12×2×2＝12；阴影部分为两个对称的三角形，其中∠EAB＝90°－∠GAB，-6-故阴影部分的面积S＝2×12AE·AB·sin∠EAB＝2×12AE·AB·cos∠GAB＝2×12×2×5×255＝4，故所求概率p＝13.答案：13热点二互斥事件、相互独立事件的概率[例2](1)(2019·惠州二调)某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立．那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．[解析]通解：由正态分布知元件1,2的平均使用寿命为1000小时，设元件1,2的使用寿命超过1000小时分别记为事件A，B显然P(A)＝P(B)＝12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的事件为AB＋AB＋AB，所以其概率P＝12×12＋12×12＋12×12＝34.优解：由两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为P＝12，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：P1＝1－(1－P)2＝34.[答案]34(2)(2019·苏州三模)现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．①求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；②求这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率．[解]依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰好有i人去参加甲项目联欢”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ci413i·234－i.-7-①这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率P(A2)＝C24132×232＝827.②设“这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，则B＝A3∪A4，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34133×23＋C44134＝19.∴这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.热点三离散型随机变量的分