（浙江专用）2020高考数学二轮复习 热考题型解法指导 第1讲 高考客观题的解法教案

-1-第1讲高考客观题的解法1．在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．技法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典型例题](1)(2019·杭州市学军中学高考模拟)x＋1xn展开式中所有奇数项的系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是()A．790B．680C．462D．330(2)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________．【解析】(1)由题意可得2n－1＝1024，即得n＝11，则展开式中各项系数的最大值是C511或C611，则C511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462，故选C.(2)由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x-2-＝2sin(2x＋π4)＋1，所以A＝2，b＝1.【答案】(1)C(2)21直接法是解决选择题，填空题最基本的方法，直接法适用范围较广．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选B.因为21－i＝2（1＋i）（1－i）（1＋i）＝2（1＋i）1－i2＝1＋i，所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B.2．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以a2b2＝1.答案：1技法二特例法当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．[典型例题](1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关(2)已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令AB→＝a，AC→＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且AP→＝ma，AQ→＝nb，则1m＋1n＝()A．3B．4-3-C．5D.13【解析】(1)因为最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f(－a2)＝b－a24中取，所以最值之差一定与b无关，故选B.(2)由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ∥BC，则AP→＝23AB→，AQ→＝23AC→，此时，m＝n＝23，故1m＋1n＝3.故选A.法二：如图2，直线BE与直线PQ重合，此时，AP→＝AB→，AQ→＝12AC→，故m＝1，n＝12，所以1m＋1n＝3.故选A.【答案】(1)B(2)A特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下几点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．[对点训练]如图，点P为椭圆x225＋y29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右项点A、上顶点B分-4-别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2＝()A．1B．2C.12D.13解析：选A.不妨取点P4，95，则可计算S1＝3－95×(5－4)＝65，由题易得PD＝2，PE＝65，所以S2＝12×2×65＝65，所以S1∶S2＝1.技法三图解法对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．[典型例题](1)如图，已知正四面体D­ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，BQQC＝CRRA＝2.分别记二面角D­PR­Q，D­PQ­R，D­QR­P的平面角为α，β，γ，则()A．γ＜α＜βB．α＜γ＜βC．α＜β＜γD．β＜γ＜α(2)(2019·宁波高考模拟)定义max{a，b}＝a，a≥bb，ab，已知函数f(x)＝max{|2x－1|，ax2＋b}，其中a0，b∈R，若f(0)＝b，则实数b的范围为________，若f(x)的最小值为1，则-5-a＋b＝________．【解析】(1)如图1，设O是点D在底面ABC内的射影，过O作OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥RQ，垂足分别为E，F，G，连接ED，FD，GD，易得ED⊥PR，所以∠OED就是二面角D­PR­Q的平面角，所以α＝∠OED，tanα＝ODOE，同理tanβ＝ODOF，tanγ＝ODOG.底面的平面图如图2所示，以P为原点建立平面直角坐标系，不妨设AB＝2，则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，3)，O0，33，因为AP＝PB，BQQC＝CRRA＝2，所以Q13，233，R－23，33，则直线RP的方程为y＝－32x，直线PQ的方程为y＝23x，直线RQ的方程为y＝33x＋539，根据点到直线的距离公式，知OE＝22121，OF＝3939，OG＝13，所以OEOGOF，所以tanαtanγtanβ，又α，β，γ为锐角，所以αγβ，故选B.(2)因为f(0)＝max{1，b}＝b，所以b≥1；作出y＝|2x－1|与y＝ax2＋b的函数图象，如图所示：因为f(x)的最小值为1，所以y＝ax2＋b恰好经过点(1，1)，所以a＋b＝1.【答案】(1)B(2)[1，＋∞)1图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[对点训练]a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b-6-都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC＝1，AB＝2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C为坐标原点，以CD→的方向为x轴正方向，CB→的方向为y轴正方向，CA→的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．则D(1，0，0)，A(0，0，1)，直线a的单位方向向量a＝(0，1，0)，|a|＝1.B点起始坐标为(0，1，0)，直线b的单位方向向量b＝(1，0，0)，|b|＝1.设B点在运动过程中的坐标B′(cosθ，sinθ，0)，其中θ为CB′→与CD→的夹角，θ∈[0，2π)．那么AB′在运动过程中的向量AB′→＝(cosθ，sinθ，－1)，|AB′→|＝2.设直线AB′与a所成的夹角为α∈0，π2，cosα＝|（cosθ，sinθ，－1）·（0，1，0）||a||AB′→|＝22|sinθ|∈0，22.故α∈π4，π2，所以③正确，④错误．设直线AB′与b所成的夹角为β，则β∈0，π2，cosβ＝|AB′→·b||b||AB′→|＝|（cosθ，sinθ，－1）·（1，0，0）||b||AB′→|＝22|cosθ|.当AB′与a成60°角时，α＝π3，-7-|sinθ|＝2cosα＝2cosπ3＝2×12＝22.因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以|cosθ|＝22.所以cosβ＝22|cosθ|＝12.因为β∈0，π2，所以β＝π3，此时AB′与b成60°角．所以②正确，①错误．答案：②③技法四构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[典型例题](1)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图所示，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.12B．－12C.32D．－32(2)已知m，n∈(2，e)，且1n2－1m2＜lnmn，则()A．m＞nB．m＜nC．m＞2＋1n-8-D．m，n的大小关系不确定【解析】(1)由题意，可补成正方体，如图，异面直线AC与BD所成角就是ED与BD所成角，而△BDE为等边三角形，所以ED与BD所成角为π3，cosπ3＝12.故选A.(2)由不等式可得1n2－1m2＜lnm－lnn，即1n2＋lnn＜1m2＋lnm．设f(x)＝1x2＋lnx(x∈(2，e))，则f′(x)＝－2x3＋1x＝x2－2x3.因为x∈(2，e)，所以f′(x)＞0，故函数f(x)在(2，e)上单调递增．因为f(n)＜f(m)，所以n＜m.故选A.【答案】(1)A(2)A构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．[对点训练]1．设函数f