2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题一 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数与方程教学案

-1-第2讲基本初等函数、函数与方程[考情考向·高考导航]1．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质．2．以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理．3．能利用函数解决简单的实际问题．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.答案：－72．(全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1解析：C[x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－1ex－1＝ex－－1ex－1，当g′(x)＝0时，x＝1，当x＜1时，g′(x)＜0函数单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，函数单调递增，当x＝1时，函数取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，若－a＞0，函数h(x)，和ag(x)没有交点，当－a＜0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1⇒a＝12，故选C.]3．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：B[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：C[令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，则f(x)＝－x－a，-2-要使g(x)存在2个零点，则需y＝f(x)与y＝－x－a有两个交点，画出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示，则需－a≤1，∴a≥－1.][主干整合]1．指数式与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)logaMN＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝logbNlogba(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)．2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．3．函数的零点问题(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．4．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一基本初等函数的图象与性质[例1](1)(2019·济南三模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()-3-[解析]B[由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.](2)(2019·郑州三模)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝4x，x≤12，log|a|x，x＞12在R上有最大值，则a的取值范围为()A.－22，－12B.－1，－12C.－22，－12D.－22，0∪0，12[解析]A[∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，∴a＜0，－2a－1≥0，∴a≤－12，∵a(a＋1)≠0，∴|a|∈12，1∪(1，＋∞)．当x≤12时，g(x)＝4x∈(0,2]，又g(x)＝4x，x≤12，log|a|x，x＞12在R上有最大值，则当x＞12时，log|a|x≤2，且|a|∈12，1，∴log|a|12≤2，∴|a|2≤12，则|a|≤22，又a≤－12，∴－22≤a≤－12.](3)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b[解析]A[利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．a＝log52＜log55＜12，b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2，0．51＜0.50.2＜0.50，故12＜c＜1，-4-所以a＜c＜b.故选A.]基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数；当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(1)(2020·银川模拟)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析：B[∵函数y＝logax过点(3,1)，∴1＝loga3，解得a＝3，由于y＝3－x不可能过点(1,3)，故选项A错误；由于y＝x3过定点(1,1)，故选项B正确；由于y＝(－x)3＝－x3不可能过点(1,1)，故选项C错误；由于y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，故选项D错误．故选B.](2)(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314＞f2－32＞f2－23B．flog314＞f2－23＞f2－32C．f2－32＞f2－23＞flog314D．f2－23＞f2－32＞flog314-5-解析：C[本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．∵f(x)是R的偶函数，∴flog314＝f(log34)．∴log34＞1＝20＞2－23＞2－32，又f(x)在(0，＋∞)单调递减，f(log34)＜f2－23＜f2－32，∴f2－32＞f2－23＞flog314，故选C.]热点二函数的零点与方程的根确定函数零点的个数或其存在区间[例2－1](1)(2019·南昌调研)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]B[(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝12x图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y＝|log0.5x|与y＝12x的图象，易知有2个交点．](2)(2020·兰州模拟)方程ln(x＋1)－2x＝0(x＞0)的根存在的大致区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)[解析]B[设f(x)＝ln(x＋1)－2x，易f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2＜0，而f(2)＝ln3－1＞0，所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)．所以B选项正确．]判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能-6-画出的函数图象交点问题．根据零点情况求参数范围[例2－2](1)(2020·四川凉山诊断)已知函数f(x)＝2x－a，x≤0，3x－a，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,1)∪(1,2)D．(－∞，1)[解析]A[∵函数f(x)＝2x－a，x≤0，3x－a，x＞0(a∈R)在R上有两个零点，且x＝a3是函数f(x)的一个零点，∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，再根据当x∈(－∞，0]时，0＜2x≤20＝1，可得0＜a≤1.故选A.](2)(2019·山东济南三模)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是________．[解析]∵偶函数f(x)满足f(x－1)＝1fx，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝1fx－＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，在区间[－1,3]内函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与y＝loga(x＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0＜a＜1时，函数图象无交点，数形结合可得a＞1且loga3＜1，loga5＞1，解得3＜a＜5.[答案](3,5)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法-7-(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．(1)(2019·武昌二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2018x＋log2018x，则函数f(x)的零点个数为________．解析：在同一直角坐标系中作出函数y＝2018x和y＝－log2018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2018x＋log2018x在x∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，∴函数f(x)的零点个数是3.答案：3(2)(2020·张家界模拟)已知函数f(x)＝2x，x＜2，－x－2＋2，x≥2，若关于x的方程f(x)－k＝0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是________________．解析：画出函数f(x)＝2x，x＜2，－x－2＋2x，x≥2的图象如图所示，结合图象可以看出当0≤k＜1或k＞2时符合题设．答案：[0,1)∪(2，＋∞)热点三函数的实际应用-8-数学建模素养数学建模——函数建模在实际问题中的妙用解函数的模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．读题文字语言―→建模数学语言―→求解数学应用―→反馈检验作答[例3](1)(2020·凉山诊断)某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元．从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1000元，则调运方案的种数为()A．1B．2C．3D．4[解析]C[(1)设总运费为y元，甲地调运x台电脑至B地，则剩下(6－