2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.2 正

17.3.2正弦型函数的性质与图像学习目标核心素养1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．(重点)2.会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．(难点)通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.1.正弦型函数(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，w≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝2π|ω|，频率f＝|ω|2π，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．2.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：(4)用“变换法”作图：2y＝sinx的图像―――――――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)的图像――――――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)的图像――――――――――――――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)的图像．思考：由y＝sinx的图像，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？[提示]变化途径有两条：(1)y＝sinx―――→相位变换y＝sin(x＋φ)―――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)―――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinx―――→周期变换y＝sinωx―――→相位变换y＝sin(ωx＋φ)―――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．1.函数y＝4sin2x＋π3＋1的最小正周期为()A．π2B．πC．2πD．4πB[T＝2π2＝π.]2.要得到y＝sinx＋π4的图像，只要将y＝sinx的图像()A．向右平移π4个单位B．向左平移π4个单位C．向上平移π4个单位D．向下平移π4个单位B[将y＝sinx的图像向左平移π4个单位可得到y＝sinx＋π4的图像．]3.已知函数y＝3sin15x＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.10π3π7[由函数y＝3sin15x＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝2π|ω|＝10π，初相为π7.]3正弦型函数的性质与图像【例1】用“五点法”作函数y＝2sinx－π3＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．[思路探究]先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．[解]①列表：xπ356π43π116π73πx－π30π2π32π2πy35313②描点连线作出一周期的函数图像．③把此图像左、右扩展即得y＝2sinx－π3＋3的图像．由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，周期为T＝2πω＝2π，频率为f＝1T＝12π，初相为φ＝－π3，最大值为5，最小值为1.令2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)得原函数的增区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．令2kπ＋π2≤x－π3≤2kπ＋3π2，(k∈Z)得原函数的减区间为2kπ＋5π6，2kπ＋11π6(k∈Z)．令x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋56π(k∈Z)．41.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像．2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．1.作出函数y＝2sin2x－π4在x∈π8，3π4上的图像．[解]令X＝2x－π4，列表如下：X0π2π3π22πxπ83π85π87π89π8y020－20描点连线得图像如图所示．正弦型函数的图像变换【例2】函数y＝2sin2x＋π3－2的图像是由函数y＝sinx的图像通过怎样的变换得到的？[思路探究]由周期知“横向缩短”，由振幅知“纵向伸长”，并且需要向左、向下移动．[解]法一：y＝sinx5三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略1确定函数y＝sinx的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.2已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.2.为了得到函数y＝sinx3＋π6，x∈R的图像，只需把函数y＝sinx，x∈R的图像上所有的点：①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)；6③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．其中正确的是________．③[y＝sinx――――→向左平移π6个单位y＝sinx＋π6――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变y＝sinx3＋π6.]求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)|φ|π2的图像，确定其一个函数解析式．[思路探究]解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.[解]由图像，知A＝3，T＝π，又图像过点A－π6，0，∴所求图像由y＝3sin2x的图像向左平移π6个单位得到，∴y＝3sin2x＋π6，即y＝3sin2x＋π3.确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：1代入法：把图像上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图像与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”即图像上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；7“第二点”即图像的“峰点”为ωx＋φ＝π2；“第三点”即图像下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；“第四点”即图像的“谷点”为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．[解]由图像可知A＝2，T2＝43－13＝1，∴T＝2，∴T＝2πω＝2，∴ω＝π，∴y＝2sin(πx＋φ)．代入13，2得2sinπ3＋φ＝2，∴sinπ3＋φ＝1，∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y＝2sinπx＋π6.正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性[探究问题]1.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)．2.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？[提示]与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．8函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ－φω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点kπ－φω，0(k∈Z)成中心对称．【例4】已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0φπ)．(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝π8对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．[思路探究]利用正弦函数的性质解题．[解](1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋π2，又φ∈(0，π)，∴φ＝π2.(2)∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝π8对称，∴f(0)＝fπ4，即sinφ＝sinπ2＋φ＝cosφ，∴tanφ＝1，φ＝kπ＋π4(k∈Z)．又φ∈(0，π)，∴φ＝π4，∴f(x)＝sin2x＋π4.由2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π8(k∈Z)，由2x＋π4＝kπ，得x＝kπ2－π8(k∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π8(k∈Z)，对称中心kπ2－π8，0(k∈Z)．1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．2.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．94．函数f(x)＝3sin2x－π3的图像为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图像C关于直线x＝π12对称；②图像C关于点2π3，0对称；③函数f(x)在区间－π12，5π12内是增函数；④由y＝3sin2x的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C．②③[fπ12＝3sin2×π12－π3＝3sin－π6＝－32.f2π3＝3sin4π3－π3＝0，故①错，②正确．令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，故③正确．函数y＝3sin2x的图像向右平移π3个单位，得到函数y＝3sin2x－π3＝3sin2x－2π3的图像，故④错．1.φ对函数y＝sin(x＋φ)的图像的影响函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2.ω(ω0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω1时)或伸长(当0ω1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的．3.A(A0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的，10函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]．最大值为A，最小值为－A．4．由y＝sinx变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的方法(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B．32C．1D．12A[由题意及函数y＝sinωx的图像与性质可知，12T＝3π4－π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A．]2.要得到y＝3sin2x＋π4的图像，只需将y＝3sin2x的图像()A．向左平移π4个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π8个单位D．向右平移π