江苏省南京师范大学附属中学2020届高三数学下学期期初检测试题

1高三数学试卷第1页共18页江苏省南京师范大学附属中学2020届高三数学下学期期初检测试题第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知231,xAxxR，211,3xBxxRx，则AB__________．2．复数(1)zii（i是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限．3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．5．抛物线28yx的焦点坐标为__________．6．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从1，2两个数中任取的一个数，则（第4题）（第13题）2高三数学试卷第2页共18页关于x的一元二次方程2220xaxb有实根的概率是__________．7．已知某圆锥底面圆的半径1r，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________．8．已知等差数列{}na中，3421aa，30a，则{}na的前10项和是__________．9．已知函数2,4()(1),4xxfxfxx，则2(5log6)f的值为__________．10．已知点A（0，3），直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，且圆心C在直线l上．若圆C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为__________．11．已知不等式2121xx的解集为A，不等式22100xxmm的解集为B，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________．12．已知0a，0b，且31126abab，则3abab的最大值为__________．13．如图，已知ABAC，3AB，3AC，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆．设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且12APBQ，则CPCQ的取值范围是__________．14．若1x，2x是函数2ln2fxxmxx，mR的两个极值点，且12xx，则12fxx的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acosB＋bcosA＝ccosAcosC．（1）求证：A＝C；3高三数学试卷第3页共18页（2）若b＝2，BA→·BC→＝1，求sinB的值．16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥平面BCC1B1，AD⊥DB．求证：（1）BC∥平面ADD1A1；（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．17．（本小题满分14分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,AB两点在O上，,,,ABCD恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,AB,CD四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到,,,ABCD四点线路,,,OAOBOCOD．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OAOBOCOD总长度的最小值．（第16题）BACDD1B1A1C1DCOAB（第17题）4高三数学试卷第4页共18页18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为12，右准线方程为x＝4，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于M，N两点（其中，M在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设线段MN的中点为D，若直线OD的斜率为－12，求k的值；（3）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若S1S2＝32，求M的坐标．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝lnx＋ax＋1，a∈R．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；（2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数a的取值范围；lxyFABOMNx＝4（第18题）5高三数学试卷第5页共18页（3）若当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，已知11a，且111nnnnnnaSaSaa对一切*nN都成立．（1）当＝1时，①求数列na的通项公式；②若,)1(nnanb求数列nb的前n项的和Tn；（2）是否存在实数，使数列na是等差数列．如果存在，求出的值；若不存在，说明理由．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题6高三数学试卷第6页共18页第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝2112．（1）求M2；（2）求矩阵M的特征值和特征向量．B．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系()(02π)≤,中，求曲线2sin与cos1的交点Q的极坐标．7高三数学试卷第7页共18页【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．OyBxMACPll1l2（第22题）8高三数学试卷第8页共18页23．（本小题满分10分）对于给定正整数n，设nnnxaxaxaax2210)1(，记01nnkkSa．（1）计算1234SSSS，，，的值；（2）求nS．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．2,42．二3．64．55．2,06．587．338．2529．1210．120,511．4,12．1913．1,1114．3ln2,02二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步9高三数学试卷第9页共18页骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）解：（1）由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入acosB＋bcosA＝ccosAcosC，得(sinAcosB＋sinBcosA)cosC＝sinCcosA，…………2分即sin(A＋B)cosC＝sinCcosA．因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，所以sinCcosC＝sinCcosA，…………4分因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA．又因为A，C是△ABC的内角，所以A＝C．…………6分（2）由（1）知，因为A＝C，所以a＝c，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2－2a2．…………8分因为BA→·BC→＝1，所以a2cosB＝a2－2＝1，所以a2＝3．…………10分所以cosB＝13．…………12分因为B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD∥平面BCC1B1，AD平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD＝BC，所以AD∥BC．…………4分又因为BC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以BC∥平面ADD1A1．…………6分（2）由（1）知AD∥BC，因为AD⊥DB，所以BC⊥DB，…………8分10高三数学试卷第10页共18页在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，BC底面ABCD，所以DD1⊥BC，…………10分又因为DD1平面BDD1B1，DB平面BDD1B1，DD1∩DB＝D，所以BC⊥平面BDD1B1，…………12分因为BC平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．…………14分17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB，因为正方形边长为10米，所以10OAOBAB，则3AOB，所以103AB，…………2分所以广场的面积为22110350(1010)101002532343答：广场的面积为501002533平方米．…………6分（2）作OGCD于G，OKAD于KG，记OAK，则2220sinADDGOK，…………8分由余弦定理得2222cosODOAADOAAD221cos210(20sin)21020sincos100400200sin2223002002sin(245)100(21)，…………12分所以10(21)OD,当且仅当22.5时取等号，所以2020(21)202OAOBOCOD，11高三数学试卷第11页共18页因此求4条小路的总长度的最小值为202米．答：4条小路的总长度的最小值为202米．…………14分18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c(c＞0)．依题意，ca＝12，且a2c＝4，解得a＝2，c＝1．故b2＝a2－c2＝3．所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1．…………4分（2）设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x124＋y123＝1，x224＋y223＝1．两式相减，得(x1－x2)(x1＋x2)4＋(y1－y2)(y1＋y2)3＝0，14＋13·y1－y2x1－x2·y1＋y2x1＋x2＝0，所以14＋13·k·(－12)＝0，得k＝32．…………8分（3）由题意，S1S2＝32，即12·|AF|·|y1|12·|BF|·|y2|＝32，整理可得|y1||y2|＝12，…………10分所以→NF＝2→FM．代入坐标，可得1－x2＝2(x1－1)－y2＝2y1，即x2＝3－2x1y2＝－2y1．…………12分又点M，N在椭圆C上，所以x124＋y123＝1(3－2x1)24＋(－2y1)23＝1，解得x1＝74y＝385．所以M的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）12高三数学试卷第12页共18页解：（1）f′(x)＝1x－ax2，则f′(1)＝1－a＝2，解得a＝－1，则f(x)＝lnx－1x＋1，此时f(1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b＝－2，所以a＝－1，b＝－2．…………2分（2）g(x)＝f(x)＋ax＝lnx＋ax＋ax＋1，g′(x)＝1x－ax2＋a＝ax2＋x－ax2．①当a＝0时，g′(x)＝1x＞0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值．…………4分②当a≠0时，方程ax2＋x－a＝0的判别式Δ＝1＋4a2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x1，x2，由韦达定理得x1x2＝－1，则两根一正一负，不妨设x1＜0＜x2．设函数m(x)＝ax2＋x－a