2020届高考数学大二轮复习 层级一 第三练 不等式、合情推理教学案

-1-层级一第三练不等式、合情推理[考情考向·高考导航]1．利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点．2．一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．3．利用不等式解决实际问题．4．以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)若变量x，y满足约束条件2x＋3y－6≥0，x＋y－3≤0，y－2≤0，则z＝3x－y的最大值是________．解析：画出线性区域如图，由z＝3x－y，知y＝3x－z，平移直线y＝3x，过点(3,0)时，z最大，即zmax＝3×3－0＝9.答案：92．(2019·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则x＋y＋xy的最小值为____________．解析：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.x＋y＋xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋6xy≥22xy·6xy＝43，等号当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时成立．答案：433．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，-2-一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：总费用4x＋600x×6＝4x＋900x≥4×2900＝240，当且仅当x＝900x，即x＝30时等号成立．答案：304．(全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析：D[四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良(若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然)，→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．][主干整合]1．不等式的解法(1)一元二次不等式的解法．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(a≠0，Δ＝b2－4ac＞0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．(2)简单分式不等式的解法．①fxgx＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0)．②fxgx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．2．几个不等式(1)a2＋b2≥2ab(取等号的条件是当且仅当a＝b)．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(3)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a＞0，b＞0)．(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．3．简单的线性规划问题-3-解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．热点一不等式的性质及解法[题组突破]1．(2019·全国Ⅱ卷)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|解析：C[若a＞b，则a3＞b3，即a3－b3＞0.]2．(2019·烟台三模)设p：x2－x－20＞0，q：1－x2|x|－2＜0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：A[当p成立时，x2－x－20＞0，解之得x＞5或x＜－4，在此条件下1－x2|x|－2＜0成立，显然充分性成立．当q成立时，1－x2|x|－2＜0，解之得x＜－2或－1＜x＜1或x＞2，显然必要性不成立，因此p是q的充分不必要条件．]3．(2020·西安模拟)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≥1，21－x－2，x＜1，则不等式f(x－1)≤0的解集为()A．{x|0≤x≤2}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1≤x≤3}解析：D[由题意，得f(x－1)＝2x－2－2，x≥2，22－x－2，x＜2.当x≥2时，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；当x＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.综上所述，不等式f(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤3}．]解不等式的常见策略(1)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(2)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．-4-热点二简单的线性规划[题组突破]1．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②p∨q③p∧q④p∧q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④解析：A[本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断，有一定难度．不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交点，可采用特殊值判断命题的真假．如图，平面区域D为阴影部分，由y＝2xx＋y＝6得x＝2y＝4即A(2,4)，直线2x＋y＝9与直线2x＋y＝12均过区域D，则p真q假，有p假q真，所以①③真②④假．故选A.]2．(2020·湖北黄冈模拟)已知x，y满足约束条件x－y＋4≥0，x≤2，x＋y＋k≥0，且z＝x＋3y的最小值为2，则常数k＝________.解析：作出不等式组x－y＋4≥0，x≤2，x＋y＋k≥0所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．-5-由z＝x＋3y得y＝－13x＋z3，结合图形可知当直线y＝－13x＋z3过点A时，z最小．联立方程，得x＝2，x＋y＋k＝0，得A(2，－2－k)，此时zmin＝2＋3(－2－k)＝2，解得k＝－2.答案：－23．若实数x，y满足约束条件2x＋y－4≤0，x－2y－2≤0，x－1≥0，则y－1x的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为y－1x表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率．由图知，点P与点A1，－12连线的斜率最小，所以y－1xmin＝kPA＝－12－11－0＝－32.答案：－324．(2020·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元．该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：-6-设该厂每个月生产x把椅子，y张桌子，利润为z元，则得约束条件4x＋8y≤8000，2x＋y≤1300，x，y∈N，z＝1500x＋2000y.画出不等式组x＋2y≤2000，2x＋y≤1300，x≥0，y≥0表示的可行域如图中阴影部分所示．画出直线3x＋4y＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P时，z取得最大值．由x＋2y＝2000，2x＋y＝1300，得x＝200，y＝900，即P(200,900)，所以zmax＝1500×200＋2000×900＝2100000.故每个月所获得的最大利润为2100000元．答案：2100000简单的线性规划问题的解题策略在给定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路步骤为：(1)根据约束条件作出可行域．(2)根据所要求的目标函数的最值，令目标函数z＝0，将所得直线平移，得到可行解，并确定最优解．(3)将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解．热点三基本不等式的应用[例1](1)(2020·长春调研)若a，b∈R，ab＞0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．(2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则1b＋1＋9a＋9的最大值为()A．1B.1110-7-C.65D．2[解析](1)∵a，b∈R，ab＞0，∴a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4.当且仅当a2＝2b2，4ab＝1ab，即a2＝22，b2＝24时取得等号．故a4＋4b4＋1ab的最小值为4.(2)由题意知，2ab＝8，所以b＝4a.因为2≤a≤10，所以1b＋1＋9a＋9＝14a＋1＋9a＋9＝1＋5a＋36a＋13≤1＋513＋2a×36a＝65，当且仅当a＝36a，即a＝6时，1b＋1＋9a＋9取得最大值65.[答案](1)4(2)C利用不等式求最值的解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y＝m＋Agx＋Bg(x)(A＞0，B＞0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．(4)单调性：应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．(1)(2020·山师附中模拟)已知a＞1，b＞1，且ab＋2＝2(a＋b)，则ab的最小值为____________．解析：因为ab＋2＝2(a＋b)≥4ab，当且仅当a＝b时取等号，所以(ab－2)2≥2.-8-因为a＞1，b＞1，所以ab≥2＋2，ab≥6＋42.即ab的最小值为6＋42.答案：6＋42(2)(2019·昆明二模)已知正实数a，b满足a＋3b＝7，则11＋a＋42＋b的最小值为____________．解析：11＋a＋42＋b＝114[(a＋1)＋3(2＋b)]11＋a＋42＋b＝11413＋＋ba＋1＋a＋2＋b≥13＋4314，当且仅当＋ba＋1＝a＋2＋b时取等号．答案：13＋4314(3)(双空填空题)若a0，b0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________，1a＋2b的最小值为________．解析：本题考查基本不等式的应用．∵a0，b0，且a＋2b－4＝0，∴a＋2b＝4，∴ab＝12a·2b≤12×a＋2b22＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，∴ab的最大值为2.∵1a＋2b＝1a＋2b·a＋2b4＝145＋2ba＋2ab≥145＋2·2ba·2ab＝94，当且仅当a＝b时等号成立，∴1a＋2b的最小值为94.答案：294热点四合情推理逻辑推理素养逻辑推理——合情推理中的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.[例2](1)(2020·济南模拟)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角．以下数表的构造思路就来源于杨辉三角．-9-从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为()A．2018×21008B．2018×21009C．2020×21008D．2