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-1-指导一数学思想·融会贯通第1讲函数与方程思想、数形结合思想[一]函数与方程思想函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想[函数思想与方程思想密切相关]方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系函数与方程思想在函数、不等式中的应用[例1](2019·烟台三模)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]D[因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立．设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以g＞0，g＞0，即x－2＋x－2＞0，x－＋x－2＞0，解得x＜－2或x＞2.]函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．-2-[活学活用1](2019·贵阳三模)设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea－1的大小关系为()A．ea－1＜a＜aeB．ae＜a＜ea－1C．ae＜ea－1＜aD．a＜ea－1＜ae解析：B[设f(x)＝ex－x－1，x＞0，则f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)＞0，∴ex－1＞x，即ea－1＞a.又y＝ax(0＜a＜1)在R上是减函数，得a＞ae，从而ea－1＞a＞ae.]函数与方程思想在数列中的应用[例2](2020·兰州模拟)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值________．[解析]∵{an}为等差数列，则S4＝4a1＋6d＝4a1－6，S2＝2a1－1，S1＝a1.又S22＝S1·S4知，(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，∴a1＝－12.[答案]－121．应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时，根据题中的条件，列出关于首项和公差(或公比)的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差(或公比)，再根据等差(或等比)数列的通项公式写出an.2．根据题目条件构造函数关系，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路．[活学活用2]已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则ann的最小值为________．解析：an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋33＝2(1＋2＋…＋n－1)＋33＝(n－1)n＋33，故ann＝n＋33n－1.注意到对勾函数的单调性，易得n＝5或n＝6时，ann最小，而a66＝212，a55＝535，故最小值为212.-3-答案：212[二]数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的利用数形结合思想研究函数的零点[例1]已知函数f(x)＝－xx＋1－3a，x≤－2ex－ax，－2＜x＜0恰有3个零点，则实数a的取值范围为()A.－23，－13B.－23，－1e2C.－1e，－1e2D.－1e，－13[解析]D[函数f(x)＝－xx＋1－3a，x≤－2ex－ax，－2＜x＜0恰有3个零点，则3a＝－xx＋1在x≤－2时有且只有一个实数根，且ex＝ax在(－2,0)上有两个不相等的实数根．由3a＝－xx＋1在x≤－2时有且只有一个实数根，得－2≤3a＜－1，即－23≤a＜－13；ex＝ax在(－2,0)上有两个不相等的实数根，可转化为a＝xex在(－2,0)上有两个不相等的实数根，令g(x)＝xex，则g′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(－2，－1)时，g′(x)＜0，当x∈(－1,0)时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，当－2＜x＜0时，函数g(x)的大致图象如图所示，所以当g(－1)＜a＜g(－2)，即－1e＜a＜－2e2时，a＝xex在(－2,0)上有两个不相等的实数根．综上，当－1e＜a＜－13时，函数f(x)恰有3个零点，故选D.]-4-利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解．(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合．[活学活用1]已知函数f(x)＝12x2－x，x≤0，log5x，x＞0，函数g(x)是周期为2的偶函数且当x∈[0,1]时，g(x)＝2x－1，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数是()A．5B．6C．7D．8解析：B[在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，由图象可知当x＞0时，有4个零点，当x≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点．]应用数形结合求解不等式、参数问题[例2]设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________________．[解析]设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．-5-又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也是增函数．因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)．所以，由图象可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．[答案](－∞，－3)∪(0,3)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．[活学活用2]当x∈(1,2)时，(x－1)2＜logax恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知a＞1，在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1,2)及y＝logax的图象，若y＝logax过点(2,1)，得loga2＝1，所以a＝2.根据题意，函数y＝logax，x∈(1,2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1,2)的上方，所以1＜a≤2.答案：(1,2]利用数形结合求最值问题[例3](1)(2019·泉州三模)记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为()A．5B．6C．8D．10[解析]C[在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：-6-由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，拋物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．解方程组y＝x＋3，y＝13－x得点C(5,8)．所以f(x)max＝8.](2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4[解析]B[根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.]运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．[活学活用3](2019·南昌三模)若x，y满足约束条件2x＋y≤8，x＋3y≤9，x≥0，y≥0，则y－6x－6的最大值为________．解析：-7-画出可行域，如图所示，z＝y－6x－6表示可行域内的点和定点F(6,6)连线的斜率，显然直线AF的斜率最大，kAF＝6－06－4＝3，即y－6x－6的最大值是3.答案：3第2讲分类讨论思想、转化与化归思想[一]分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．由概念、性质、运算引起的分类讨论[例1](1)(2020·山师附中模拟)已知函数f(x)＝－log2－x，x＜2，2x－2－1，x≥2，若f(2－a)＝1，则f(a)等于()A．－2B．－1C．1D．2[解析]A[①当2－a≥2，即a≤0时，22－a－2－1＝1，解得a＝－1，则f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2；②当2－a＜2即a＞0时，－log2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－12，舍去．所以f(a)＝－2.故选A.](2)(2020·阜阳模拟)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，则{an}的前9项和S9＝____________.-8-[解析]由题意得q2＝a3＋a6＋a9a1＋a4＋a7＝9，q＝±3，①当q＝3时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6，S9＝2＋6＋18＝26；②当q＝－3时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6，S9＝2－6＋18＝14，所以S9＝14或26.[答案]14或26数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．[活学活用1]已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.解析：当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得a－1＋b＝0，a0＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2，所以a＋b＝－32.答案：－32由图形位置或形状