2021高考数学一轮复习 第11章 概率 第3节 模拟方法——概率的应用教学案 文 北师大版

-1-第三节模拟方法——概率的应用[最新考纲]1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第193页)1．模拟方法对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．2．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[常用结论]几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×-2-二、教材改编1．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A.12B.13C.14D．1B[坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()ABCDA[∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)．故选A.]3．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.35B.45C.25D.15C[试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝25.]4．已知四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方体ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8B[如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝S阴影S长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.](对应学生用书第194页)⊙考点1与长度(角度)有关的几何概型-3-长度、角度等测度的区分方法(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则把题中所表示的几何模型转化为长度，然后求解．解题的关键是构建事件的区域(长度)．(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角度的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．(1)在区间π12，π6上随机取一个数α，使tan2α＞1的概率为()A.14B.13C.12D.23(2)在Rt△ABC中，AB＝BC，在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为()A.12B.33C.23D.32(3)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．(1)C(2)B(3)34[(1)∵α∈π12，π6，∴2α∈π6，π3，由tan2α＞1，得π4＜2α＜π3，则π8＜α＜π6，∴tan2α＞1的概率为π6－π8π6－π12＝12，故选C.(2)在Rt△ABC中，AB＝BC，Rt△ABC为等腰直角三角形，令AB＝BC＝1，则AC＝2.在BC边上随机取点P，当∠BAP＝30°时，BP＝tan30°＝33，在BC边上随机取点P，则∠BAP＜30°的概率为：P＝BPBC＝33，故选B.(3)过点C作CN交AB于点N，使AN＝AC，如图所示．显然当射线CM处在∠ACN内时，AM＜AC.又∠A＝45°，所以∠ACN＝67.5°，故所求概率为P＝67.5°90°＝34.]-4-本例(2)易把∠BAC当作试验的结果构成的区域，本例(3)易把线段AB当作试验的结果构成的区域．[教师备选例题]1．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45C[设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，所以x(12－x)＞20，解得2＜x＜10，故所求概率P＝10－212＝23.]2．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是()A.23B.58C.13D.38D[该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P＝1540＝38，故选D.]1.某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34B[如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型的概率计算公式，得所求概率P＝10＋1040＝12，故选B.]-5-2．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．13[因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.]⊙考点2与体积有关的几何概型与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积，求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积．(1)在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为()A.16B.56C.π6D．1－π6(2)已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜12VS­ABC的概率是()A.78B.34C.12D.14(1)D(2)A[(1)符合条件的点在边长为2的正方体内部，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的18球体外，则所求概率P＝1－43π8＝1－π6，故选D.(2)当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，-6-由几何概型知，P＝1－18＝78.]解答本例(2)时，应利用VP­ABC＝12VS­ABC求出点P的临界值位置，再结合题意确定点P所在的区域．1.在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6πB.32πC.3πD.233πD[由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝32，球的体积V2＝43π×323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P＝V1V2＝233π.]2．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．1－π12[如图，与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积V1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P与点O距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝23－2π323＝1－π12.]⊙考点3与面积有关的几何概型与面积有关的几何概型问题解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及事件所发生的区域面积，其解题流程为：-7-与平面几何相结合(1)(2019·南昌模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A．866B．500C．300D．134(2)(2019·武汉模拟)把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在阴影内的概率为()A.4π－1B.π－1πC.π－24D．2－4π(1)D(2)D[(1)设勾为a，则股为3a，从而弦为2a，图中大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(3－1)2a2＝(4－23)a2，则图钉落在黄色图形内的概率为P＝4－23a24a2＝1－32，所以落在黄色图形内的图钉数大约为10001－32≈134，故选D.-8-(2)标注图形并作辅助线如图：S圆＝π×22＝4π，S阴影＝14S圆－S△COD×8＝14×4π－12×2×2×8＝8π－16，则所求概率为P＝8π－164π＝2－4π，故选D.]解答此类问题的关键是利用平面几何的知识求出相关平面图形的面积．[教师备选例题]七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.14B.18C.38D.316B[不妨设小正方形的边长为1，则两个小等腰直角三角形的边长分别为1,1，2，两个大等腰直角三角形的边长为2,2,22，即最大正方形的边长为22，则较大等腰直角三角形的边长分别为2，2，2，故所求概率P＝1－12×2＋1＋1＋2×28＝18.]与线性规划相结合已知关于x，y的不等式组x－y－2≤0，2x＋y－4≤0，x≥0表示的平面区域为M，在区域M内随机取一点N(x0，y0)，则3x0－y0－2≤0的概率为()A.56B.34C.35D.13C[作出不等式组表示的平面区域M，如图中阴影部分所示(△ABC及其内部)，由题意可知所求概率P＝S△ABDS△ABC，易得A(0,4)，B(0，－2)，C(2,0)，D65，85，则S△ABC＝12×[4－(－2)]×2＝6，S△ABD＝12×[4－(－2)]×65＝185，所以P＝S△ABDS△ABC＝35，故选C.]-9-解答本题的关键是作出平面区域M，及使3x0－y0－2≤0的区域，并正确求出它们的面积．1．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A．2－33πB．4－63πC．－13－32πD.23B[设圆的半径为r，如图所示．12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为S弓形AmB＝16πr2－12r2·sinπ3＝16πr2－34r2，因此所求概率为P＝24S弓形AmBS圆＝2416πr2－34r2πr2＝4－6