2021高考数学一轮复习 第10章 算法初步、统计与统计案例 第4节 变量间的相关关系、统计案例教学

-1-第四节变量间的相关关系、统计案例[最新考纲]1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．(对应学生用书第184页)1．相关性(1)线性相关若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的．(2)非线性相关若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关的．(3)不相关如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．2．最小二乘估计(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)线性回归方程方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心-2-对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(x，y)称为样本点的中心．(3)相关系数r①r＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2i＝1ny2i－ny2；②当r0时，称两个变量正相关．当r0时，称两个变量负相关．当r＝0时，称两个变量线性不相关．4．独立性检验若一个2×2列联表为：BAB1B2总计A1aba＋bA2cdc＋d总计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d则统计量χ2为：χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d.(1)当χ2≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ22.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ23.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ26.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[常用结论]1．线性回归方程y＝bx＋a一定过样本点的中心(x，y)．2．由回归直线求出的数据是估算值，不是精确值．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)-3-(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．()(2)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．()(3)回归直线方程y^＝b^x＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．()(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为()y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A.94,72B．52,50C．52,74D．74,52C[∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4A[因为变量x和y正相关，排除选项C，D.又样本中心(3,3.5)在回归直线上，排除B，选项A满足．]3．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为y^＝0.95x＋a^，则a^＝________.x0134y2.24.34.86.72.6[∵回归直线必过样本点的中心(x，y)，又x＝2，y＝4.5，代入回归方程，得a^＝2.6.]4．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：-4-理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2的观测值为50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．5%[χ2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.](对应学生用书第185页)⊙考点1变量间的相关关系的判断判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r0时，正相关；r0时，负相关．(3)线性回归方程中：b^0时，正相关；b^0时，负相关．1.观察下列各图形，①②③④其中两个变量x，y具有相关关系的图是()A．①②B．①④C．③④D．②③C[图形③具有正线性相关关系，图形④具有非线性相关关系，故选C.]2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关C[因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝b^y＋a^，b^＞0，则z＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z负相关．]3．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比-5-较，其中正确的是()A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1C[根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故r10，r30；r20，r4＜0；又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故r1r3，r2r4,因此，r2r40r3r1，故选C.](1)变量间的相关关系分线性相关关系和非线性相关关系，如T1.(2)对相关系数r来说，|r|越接近于1，散点图越接近于一条直线，如T3.⊙考点2线性回归分析线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求回归方程①利用公式，求出回归系数b^.②利用回归直线过样本点的中心求系数a^.(2)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b^.(4)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．-6-注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑7i＝1yi＝9.32，∑7i＝1tiyi＝40.17，∑7i＝1yi－y2＝0.55，7≈2.646.回归方程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：[解](1)由折线图中数据和附注中参考数据得因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．(2)由y＝9.327≈1.331及(1)得-7-所以y关于t的回归方程为y^＝0.93＋0.10t.将2020年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.93＋0.10×9＝1.83.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．在计算时，应根据所给数据对公式进行合理变形，如[教师备选例题]下表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)：联考次数x(1≤x≤5，x∈N*)12345数学分数y(0＜y≤150)117127125134142(1)请画出上表数据的散点图：(2)①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率．(复习提高率＝净提高分卷面总分×100%，分数取整数)．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为-8-[解](1)散点图如图：(2)①由题得，x＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y＝117＋127＋125＋134＋1425＝129，∑5i＝1xiyi＝1992，∑5i＝1x2i＝55,5x2＝5×32＝45,5xy＝5×3×129＝1935，所以b^＝1992－193555－45＝5710＝5.7，a^＝129－5.7×3＝111.9，故y关于x的线性回归方程为y＝5.7x＋111.9.②由上述回归方程可得高考应该是第六次考试，故x＝6，则y＝5.7×6＋111.9＝146.1≈146(分)，故净提高分为146－116＝30(分)，所以该生的复习提高率为30150×100%＝20%.1.经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为y^＝45x＋a^，若某中学生的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为()A．7B．9.5C．11.1D．12C[x的平均数x＝14(4＋6＋8＋10)＝284＝7，y的平均数y＝14(3＋5＋6＋8)＝224＝112＝5.5，回归方程过点(x，y)，即(7,5.5)，则5.5＝0.8×7＋a^，得a^＝－0.1，则y^＝0.8x－0.1，则当x＝14时，y＝0.8×14－0.1＝11.2－0.1＝11.1，即该中学生的识图能力为11.1，故选C.]2．二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：-9-万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x234567售价y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10z关于x的折线图，如图所示：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少．(b^，a^小数点后保留两位有效数字)[解](1)由题意，知x＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，z＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，∴r＝47.64－6×4.5×24.18×1.53＝－6.366.3954≈－0.99，∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．(2)b^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.36，-10-∴a^＝z－b^x＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z与x的线性回归方程是z^＝－0.36x＋3.62，又z＝lny，∴y关于x的回归方程是y^＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得y^＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln1.46≈0.38，∴y^＝1.46，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元．⊙考点3独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，计算χ2的观测值k的值；(3)查表比较χ2的观测值k与临界值的大小关系，作统计判断．(2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否