2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.3 三角函数的性质与图像 7.3.4 正

17.3.4正切函数的性质与图像学习目标核心素养1.能画出y＝tanx的图像，借助图像理解正切函数在区间－π2，π2上的性质．(重点)2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．(重点、难点)1.通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．2.借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.1.正切函数的性质(1)函数y＝tanxx∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z的图像与性质.解析式y＝tanx图像定义域xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z值域R周期π奇偶性奇函数单调性在开区间－π2＋kπ，π2＋kπk∈Z内都是增函数(2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是π|ω|.2.正切函数的图像(1)正切函数的图像：y＝tanxx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像如图．2(2)正切函数的图像叫做正切曲线．(3)正切函数的图像特征：正切曲线是由通过点π2＋kπ，0(k∈Z)且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．思考：正切函数的图像是对称的吗？[提示]正切函数是奇函数，其图像关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为kπ2，0(k∈Z)，正切函数的图像不是轴对称图形．1.函数y＝－3tanx＋7的值域是()A．RB．xx≠kπ＋π2，k∈ZC．(0，＋∞)D．－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)A[因为y＝tanx，x∈R的值域为R，所以y＝－3tanx＋7的值域也为R.]2.y＝tan2x－π4定义域为________．xx≠kπ2＋38π，k∈Z[∵2x－π4≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ2＋38π，k∈Z.]3.函数y＝tanx＋π4的单调增区间为________．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z[令kπ－π2x＋π4kπ＋π2，k∈Z，得kπ－34πxkπ＋π4，即y＝tanx＋π4的单调增区间为kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z.]正切函数的定义域、值域问题【例1】(1)函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域是________．(2)函数y＝tan(sinx)的值域为________．3(3)求函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈－π3，π3的值域．[思路探究](1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．(1)x－π4＋kπ≤xπ4＋kπ，k∈Z(2)[－tan1，tan1][(1)要使函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)有意义，则tanx＋1≥0，1－tanx0，即－1≤tanx1.在－π2，π2上满足上述不等式的x的取值范围是－π4，π4.又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的定义域为x－π4＋kπ≤xπ4＋kπ，k∈Z.(2)因为－1≤sinx≤1，且[－1,1]⊆－π2，π2，所以y＝tanx在[－1,1]上是增函数，因此tan(－1)≤tanx≤tan1，即函数y＝tan(sinx)的值域为[－tan1，tan1]．](3)[解]令t＝tanx，∵x∈－π3，π3，∴t＝tanx∈[－3，3)，∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，∴t＝1时，y取最大值6，t＝－3时，y取最小值2－23，∴函数y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈－π3，π3时的值域为[2－23，6]．1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠π2＋kπ，k∈Z；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．2.解正切不等式的两种方法：4(1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．1.求函数y＝tanx－1tanx＋π6的定义域．[解]根据题意，得tanx≥1，tanx＋π6≠0，x＋π6≠π2＋kπk∈Z，解得π4＋kπ≤xπ2＋kπ，x≠－π6＋kπ，x≠π3＋kπ，(k∈Z)．所以函数的定义域为π4＋kπ，π3＋kπ∪π3＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．正切函数的奇偶性、周期性【例2】(1)函数y＝4tan3x＋π6的周期为________．(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝tan2x－tanxtanx－1；②f(x)＝tanx－π4＋tanx＋π4.[思路探究](1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．(2)可按定义法的步骤判断．(1)π3[由于ω＝3，故函数的周期为T＝π|ω|＝π3.](2)[解]①由x≠kπ＋π2，k∈Z，tanx≠1，得f(x)的定义域为xx≠kπ＋π2且x≠kπ＋π4，k∈Z，不关于原点对称，5所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．②函数定义域为xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z，关于原点对称，又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4＝－tanx＋π4－tanx－π4＝－f(x)，所以函数是奇函数．1.函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：(1)定义法．(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．2.(1)求f(x)＝tan2x＋π3的周期；(2)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性．[解](1)∵tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3，即tan2x＋π2＋π3＝tan2x＋π3，∴f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.(2)定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，∴函数是奇函数.正切函数的单调性6【例3】(1)求函数y＝tan－12x＋π4的单调区间；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．[思路探究](1)可先令y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z这个区间内解出x便可．(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，最后利用y＝tanx在－π2，π2上的单调性判断大小关系．[解](1)y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，由kπ－π212x－π4kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2x2kπ＋32π，(k∈Z)，∴函数y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是2kπ－π2，2kπ＋32π(k∈Z)，无增区间．(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，又∵π22π，∴－π22－π0，∵π23π，∴－π23－π0，显然－π22－π3－π1π2，且y＝tanx在－π2，π2内是增函数，∴tan(2－π)tan(3－π)tan1，即tan2tan3tan1.求y＝Atanωx＋φ的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－π2ωx＋φkπ＋π2求得x的范围即可.比较两个同名函数的大小，应保证自变量在同一单调区间内.3.(1)求函数y＝tan2x－3π4的单调区间；(2)比较tan－13π4与tan－12π5的大小．7[解](1)∵y＝tan2x－3π4单调区间为kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)，∴kπ－π22x－3π4kπ＋π2(k∈Z)，kπ2＋π8xkπ2＋5π8(k∈Z)，∴函数y＝tan2x－3π4的单调递增区间为kπ2＋π8，kπ2＋5π8(k∈Z)．(2)由于tan－13π4＝tan－4π＋3π4＝tan3π4＝－tanπ4，tan－12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan2π5，又0π42π5π2，而y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ4tan2π5，－tanπ4－tan2π5，即tan－13π4tan－12π5.正切函数的图像及应用【例4】画出函数y＝|tanx|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．[解]由y＝|tanx|得，y＝tanx，kπ≤xkπ＋π2k∈Z，－tanx，－π2＋kπxkπk∈Z，其图像如图所示．由图像可知，函数y＝|tanx|是偶函数，单调递增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z)，周期为π.81.作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：(1)保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；(2)将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．4．设函数f(x)＝tanx2－π3，(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．[解](1)∵f(x)＝tanx2－π3，∴w＝12，周期T＝πω＝π12＝2π.令x2－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ＋2π3(k∈Z)，∴f(x)的对称中心是kπ＋2π3，0(k∈Z)．(2)令x2－π3＝0，则x＝2π3.令x2－π3＝π2，则x＝5π3.令x2－π3＝－π2，则x＝－π3.∴函数y＝tanx2－π3的图像与x轴的一个交点坐标是2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－π3，x＝5π3，从而得函数f(x)＝tanx2－π3在一个周期－π3，5π3内的简图(如图)．91.对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.(2)当ω0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是πω.2.“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为(kπ，0)，kπ＋π4，1，kπ－π4，－1，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋π2和直线x＝kπ－π2，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．3.解答正切函数