北京市一零一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）

1北京一零一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题）1.方程-x2-5x+6=0的解集为（）.A.6,1B.2,3C.1,6D.2,3【答案】A【解析】【分析】因式分解法求解一元二次方程．【详解】∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴(x+6)(x-1)=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．【点睛】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．2.“2x”是“24x”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】因为242xx或2x，所以，“2x”能推出“24x”，“24x”不能推出“2x”，“2x”是“24x”的充分不必要条件，故选B.3.下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（）.2A.31yxB.2yxC.245yxxD.12yx【答案】D【解析】【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可．【详解】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上为减函数，故A错误；由反比例函数的性质可知，y=2x在区间(1，+∞)上为减函数，由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增．故选：D．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxx，则1()2fA.14B.14C.94D.94【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可.【详解】由奇函数的性质结合题意可得：211112224ff.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.35.设函数f（x）=4x+1x-1（x＜0），则f（x）（）.A.有最大值3B.有最小值3C.有最小值5D.有最大值5【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式求得函数f(x)=4x+1x-1(x＜0)的最值得答案．【详解】当x＜0时，f(x)=4x+1x-1=-[(-4x)+1x]-1124x15x．当且仅当-4x=-1x，即x=-12时上式取“=”．∴f(x)有最大值为-5．故选：D．【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题．6.若函数()afxxx(a∈R)在区间(1，2)上有零点，则a的值可能是()A.－2B.0C.1D.3【答案】A【解析】【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案.【详解】函数afxxx()aR的图象在12，上是连续不断的，逐个选项代入验证，当2a＝－时，112022110ff＝－＜，＝－＝＞，.故fx在区间12，上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题．47.已知函数(3)5,1()2,1axxfxaxx是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是A.(0，3)B.(0，3]C.(0，2)D.(0，2]【答案】D【解析】【分析】由fx为R上的减函数，根据1x和1x时，fx均单调递减，且2(3)151aa，即可求解.【详解】因为函数fx为R上的减函数，所以当1x时，fx递减，即30a，当1x时，fx递减，即0a，且2(3)151aa，解得2a，综上可知实数a的取值范围是(0,2]，故选D.【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用，其中熟练掌握分段的基本性质，列出相应的不等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数f（x）在（-∞，+∞）上有意义，且对于任意的x，y∈R，有|f（x）-f（y）|＜|x-y|并且函数f（x+1）的对称中心是（-1，0），若函数g（x）-f（x）=x，则不等式g（2x-x2）+g（x-2）＜0的解集是（）.A.,12,B.1,2C.,1(2,)D.1,2【答案】A【解析】【分析】由已知可知f(x)为奇函数，从而可得g(-x)也为奇函数，然后结合|f(x)-f(y)|＜|x-y|，得()()0gxgyxy，从而可得g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求．【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1，0)，可得f(x)的图象关于(0，0)对称即f(x)为奇函数，5∴f(-x)=-f(x)，∵g(x)-f(x)=x，∴g(x)=f(x)+x，∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x)，∵对于任意的x，y∈R，有|f(x)-f(y)|＜|x-y|，∴|g(x)-g(y)-(x-y)|＜|x-y|，∴gxgyxy1xy＜，即|gxgy1xy|＜1，∴0＜gxgyxy＜2，由对任意实数,()xyxy有()()0gxgyxy得g(x)单调递增，∵g(2x-x2)+g(x-2)＜0，∴g(2x-x2)＜-g(x-2)=g(2-x)，∴2x-x2＜2-x，整理可得，x2-3x+2＞0，解可得，x＞2或x＜1，故选：A．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性求解不等式，解题的关键是结合单调性定义判断出函数g(x)的单调性．二、解答题（本大题共11小题，共80.0分）9.已知x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1+x1x2的值为______．【答案】0【解析】【分析】x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，可得x12+2x1-5=0，x1x2=-5．即可得出．【详解】∵x1，x2是方程x2+2x-5=0的两根，则x12+2x1-5=0，x1x2=-5．6∴x12+2x1+x1x2=5-5=0．故答案为：0．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.已知方程210axbx的两个根为14，3，则不等式210axbx的解集为______．【答案】134xx【解析】【分析】根据韦达定理求出,ab，代入不等式，解一元二次不等式求得结果.【详解】由题意得：1341134baa43113ab则不等式可化为：241130xx134x本题正确结果：134xx【点睛】本题考查一元二次方程的根与一元二次不等式求解的问题，属于基础题.11.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．【答案】∃x0＞0，x02+2x0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0，故答案为：∃x0＞0，x02+2x0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．7【答案】2【解析】【分析】由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数的定义求解函数值，属于基础试题．13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．【答案】{-3，3}【解析】【分析】根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a的值．【详解】因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)．令x2-2x+1=4得：x2-2x-3=0，解得：x=-1或3，所以a+2=-1或a=3，即：a=-3或3．故答案为：{-3，3}【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．14.已知函数2,,xxxxafxxxa．①若0a，则函数fx的零点有______个；②若1fxf对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是______．8【答案】(1).2(2).12,1【解析】【分析】①把a=0带入，令f(x)=0，求解，有几个解就有几个零点；②分类讨论，令a0,a=0,a0分别进行讨论，最后求得a的取值范围.【详解】①当a=0，22,0(),0xxxfxxx当0x,时，22xx=0，解得x=2或x=0，当0x，x=0无解故有两个零点②（1）当1a时，f（1）=1，此时()1fa，不成立，舍；（2）当a=1，此时f（x）的最大值为f（1），所以成立；（3）当1a，2,(),xxxxafxxxa令222,0()22,0xxxgxxxxxxx()(1)1fxf()1gx当x0时，221,[12,0)xxx当0x时，221xx，恒成立；故12a，综上121a故答案为12,1【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题，本题第二问的求参数主要考查了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关键，属于较难的题目.求函数零点的方法：91.解方程f(x)=0的根；2.利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3.利用数形结合，找图像的交点个数.15.设集合A={x2，x-1}，B={x-5，1-x，9}．（1）若x=-3，求A∩B；（2）若A∩B={9}，求A∪B．【答案】（1）{9}（2）x=-3时，A∪B={-8，-4，4，9}，x=10时，A∪B={-9，5，9，100}．【解析】【分析】(1)x=-3时，可求出A={9，-4}，B={-8，4，9}，然后进行交集的运算即可；(2)根据A∩B={9}即可得出x2=9或x-1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x=-3或10，从而x=-3时，求出集合A，B，然后求出A∪B；x=10时，求出集合A，B，然后求出A∪B即可．【详解】(1)x=-3时，A={9，-4}，B={-8，4，9}，∴A∩B={9}；(2)∵A∩B={9}，∴9∈A，∴x2=9，或x-1=9，解得x=±3或10，x=3时，不满足集合B中元素的互异性，∴x=-3或10，由(1)知，x=-3时，A∪B={-8，-4，4，9}，x=10时，A={100，9}，B={5，-9，9}，∴A∪B={-9，5，9，100}．【点睛】本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．16.已知函数2fxaxx．（1）求定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）+f（2）=0，证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并求函数f（x）在区间[1，4]上的最值．【答案】（1）|0xx，奇函数（2）单调递增，证明见详解，最大值72，最小值-1；【解析】10【分析】(1)由题意可得，x≠0，然后检验f(-x)与f(x)的关系即可判断；(2)由f(1)+f(2)=a-2+