2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题六 概率与统计 第2讲 计数原理 二项式定理教学案（理）

-1-(理)第2讲计数原理二项式定理[考情考向·高考导航]1．以实际生活为背景考查计数原理，排列与组合的简单应用，以客观题形式出现，难度中档．2．考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题，以选择题的形式出现，难度低中档．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析：当有1位女生入选时，有C12C24＝12(种)，当有2位女生入选时，有C22C14＝4(种)，由分类加法计数原理可得不同选法共有12＋4＝16(种)．答案：162．(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：D[只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得C24·A33＝36.]3．(2018·全国Ⅲ卷)x2＋2x5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：C[x2＋2x5的第k＋1项为Tk＋1＝Ck52kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系数为C25×22＝40.]4．(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：A[本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．由题意得x3的系数为C34＋2C14＝4＋8＝12，故选A.][主干整合]1．排列与组合公式-2-(1)Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！.(2)Cmn＝AmnAmm＝nn－n－n－m＋m！＝n！m！n－m！.(3)Cmn＝Cn－mn；Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.(4)Cmn＝nmCm－1n－1＝nn－mCmn－1＝n－m＋1mCm－1n.2．二项式定理(1)(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn，二项展开式的通项Tr＋1＝Crnan－rbr.(2)在二项展开式中，Crn＝Cn－rn(r＝0,1,2，…，n)．(3)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n.(4)相邻项的二项式系数的关系为Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.热点一计数原理的简单应用[题组突破]1．(2019·石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．答案：45；542．(2020·大连模拟)现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．解析：分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种；②第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24种．∴共有12＋24＝36种．答案：363．(2020·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有()1234-3-A.9种B．18种C．12种D．36种解析：B[若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．](1)在应用分类加法计算原理和分步乘法计算原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．热点二排列与组合的应用数学建模素养数学建模——排列组合问题中的核心素养用排列组合解决实际问题的关键是排列组合模型，将实际问题抽象为数学问题，充分体现了“数学建模”的核心素养.[例1](1)(2020·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育：“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A．120种B．156种C．188种D．240种[解析]A[当“数”排在第一节时有A22·A44＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有A13·A22·A33＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A22·A33＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A12·A22·A33＝24(种)排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．](2)(2020·吉林调研)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)[解析]法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．-4-法二：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种．故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．[答案]660(3)(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)[解析]C25C23A44＋C13C25C13A33＝720＋540＝1260.[答案]1260求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”．(1)(2020·福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下的两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A．90种B．180种C．270种D．360种解析：B[可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A26种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有C24C22种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为A26C24C22＝180.故选B.](2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E排列，有A22A33种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有A22A33C13＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：36-5-热点三二项式定理的应用与特定项有关的问题[例2－1](1)(2020·揭阳模拟)已知(x＋1)ax－1x5的展开式中常数项为－40，则a的值为()A．2B．－2C．±2D．4[解析]C[ax－1x5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck5(ax)5－k－1xk＝(－1)ka5－kCk5x5－2k，令5－2k＝－1，可得k＝3，结合题意可得(－1)3a5－3C35＝－40，即10a2＝40，∴a＝±2.](2)(2019·汉中二模)x＋1x＋25的展开式中整理后的常数项为________．[解析]x＋1x＋25＝x＋1x10的通项公式：Tr＋1＝Cr10(x)10－r1xr＝Cr10x5－r，令5－r＝0，解得r＝5.所以常数项＝C510＝252.[答案]252展开式中系数的和[例2－2](1)(2020·德州调研)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为32，则a＝________.[解析]设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.[答案]3(2)(2019·宁夏二模)已知(ax＋b)6的展开式中含x4项的系数与含x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6的展开式中所有项系数之和为()A．－1B．1C．32D．64[解析]D[由二项展开式的通项公式可知含x4项的系数为C26a4b2，含x5项的系数为C16a5b，-6-则由题意可得C26a4b2＝135，C16a5b＝－18，解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展开式中所有项的系数之和为(a＋b)6＝64，故选D.]与二项式定理有关的类型及解法类型解法求特定项或其系数常采用通项公式分析求解系数的和或差常用赋值法近似值问题利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题利用展开式求解(1)(2019·石家庄二模)设a＝0πsinxdx，则ax－1x6的展开式中常数项是()A．－160B．160C．－20D．20解析：A[依题意得，a＝＝－(cosπ－cos0)＝2，ax－1x6＝2x－1x6的展开式的通项Tr＋1＝Cr6·(2x)6－r－1xr＝Cr6·26－r·(－1)r·x3－r.令3－r＝0，得r＝3.因此ax－1x6的展开式中的常数项为C36×23×(－1)3＝－160，故选A.](2)(2019·兰州二模)已知(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为()A．60B．180C．520D．540解析：D[(x2＋2x＋3y)5可看作5个(x2＋2x＋3y)相乘，从中选2个y，有C25种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有C23·C11种选法；所以x5y2的系数为32C25·C23·2·C11＝540.](3)(2019·烟台三模)若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析：f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，-7-它的通项为Tk＋1＝Ck5(1＋x)5－k·(－1)k，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.答案：10限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·济宁模拟)从4台甲型装载机和5台乙型装载机中任意取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型装载机各一台，则不同的取法共有()A．84种B．80种C．70种D．35种解析：C[根据题意可分为以下2种情况进行考虑：(1)甲型装载机2台和乙型装载机1台，取法有C24C15＝30种；(