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17.2.2单位圆与三角函数线学习目标核心素养1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养．2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.1.单位圆(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．2.三角函数线思考：三角函数线的方向是怎样确定的？[提示]三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM→，正切线A′T′→B．正弦线MP→，正切线A′T′→C．正弦线MP→，正切线AT→D．正弦线PM→，正切线AT→C[由三角函数线的定义知C正确．]22.角π5和角6π5有相同的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不能确定C[π5与6π5的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]3.角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．－32，12[由于角5π6的终边与单位圆的交点横坐标是cos5π6＝－32，纵坐标是sin5π6＝12，∴角5π6的终边与单位圆的交点的坐标是－32，12.]三角函数线的概念【例1】(1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sinα＝MP，cosα＝OM，则下列命题成立的是()A．总有MP＋OM＞1B．总有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜0(2)分别作出34π和－47π的正弦线、余弦线和正切线．(1)C[显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C．](2)[解]①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作34π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin34π＝MP，cos34π＝OM，tan34π＝AT，即34π的正弦线为MP→，余弦线为OM→，正切线为AT→.②同理可作出－47π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．3sin－47π＝M1P1，cos－47π＝O1M1，tan－47π＝A1T1，即－47π的正弦线为M1P1→，余弦线为O1M1→，正切线为A1T1→.1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT→，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．1.下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．不正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3C[由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如5π6与π6；③中当α＝π2时，α与α＋π都没有正切线．]利用单位圆解三角不等式【例2】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.[思路探究]作出满足sinα＝32，cosα＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．[解](1)作直线y＝32，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．4故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z}.(2)作直线x＝－12，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z}.1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：(1)作出取等号的角的终边；(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；(3)将图中的范围用不等式表示出来．2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．2.求y＝lg(1－2cosx)的定义域．[解]如图所示，∵1－2cosx＞0，∴cosx＜22，∴2kπ＋π4＜x＜2kπ＋7π4(k∈Z)，∴函数定义域为(2kπ＋π4，2kπ＋7π4)(k∈Z).三角函数线的综合应用[探究问题]1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cosα，sinα)，点T的坐标为(1，tanα)呢？5[提示]由三角函数的定义可知sinα＝yr，cosα＝xr，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cosα，sinα)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tanα＝yx，知纵坐标y＝tanα，所以点T的坐标为(1，tanα)．2.如何利用三角函数线比较大小？[提示]利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．【例3】已知α∈0，π2，试比较sinα，α，tanα的大小．[思路探究]本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sinα，α，tanα，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．[解]如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝AP︵的长，∴S△AOP＝12·OA·MP＝12sinα，S扇形AOP＝12·AP︵·OA＝12·AP︵＝12α，S△AOT＝12·OA·AT＝12tanα.又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，∴sinα＜α＜tanα.1.本题的实质是数形结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．3.利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.[证明]（图略）在△OMP中，OP＝1，OM＝|cosα|，MP＝|sinα|，因为三角形两6边之和大于第三边，所以|sinα|＋|cosα|＞1.当点P在坐标轴上时，|sinα|＋|cosα|＝1.综上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.1.应用三角函数线比较大小的策略①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．2.利用三角函数线解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法对于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．②正切型不等式的解法对于tanx≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.1.已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为()A．3π4或π4B．5π4或7π4C．π4或5π4D．π4或7π4C[由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4.]2.在[0,2π]上满足sinx≥12的x的取值范围是()A．0，π6B．π6，5π6C．π6，2π3D．5π6，πB[画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sinx≥12的取值范围是π6，5π6.]3.用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是.sin1cos1[∵π41π3，7∴正弦线大于余弦线的长度，∴sin1cos1.]4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sinα＝23；(2)cosα＝－35.[解](1)作直线y＝23交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．甲乙(2)作直线x＝－35交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．