2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.

18.1.3向量数量积的坐标运算学习目标核心素养1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示．(难点)2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算．(重点)1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养．2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.1.向量的数量积的坐标公式设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)数量积公式：a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量垂直公式：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.思考1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2，如果对于平面向量a，有a＝xe1＋ye2，则向量a的坐标为______，记作______，[提示](x，y)a＝(x，y)．2.三个重要公式(1)向量的模：a2＝x21＋y21⇔|a|＝x21＋y21.(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x1－x22＋y1－y22.思考2：(1)若点A(－3,0),B(3,0)，则|AB→|＝______.(2)若点A(－3,3),B(3，－5)，则|AB→|＝______.[提示](1)6(2)10(3)向量的夹角公式：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.1.已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．5B．4C．－2D．－1D[a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]2.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝()2A．2B．2C．52D．50A[∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝－12＋12＝2.故选A．]3.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.－210[∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22＋22＝22，|b|＝－82＋62＝10.∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－422×10＝－210.]4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________.±4[|a|＝32＋x2＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]利用向量数量积的坐标公式计算【例1】(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．[思路探究](1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算．(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算．(1)12[∵b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，∴b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a＝(2,3)，∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.](2)[解]a·b＝1×2＋3×5＝17.因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，所以3a－b＝(1,4)，所以|3a－b|＝12＋42＝17.因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.1.数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.3(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解．2.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算．利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算．若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.1.已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(0,2)，若OC⊥AB于点C，则OC→·(OA→＋OB→)＝________.85[设点C的坐标为(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得AB→＝(－1,2)，AC→＝(x－1，y)，因为OC⊥AB于点C，∴OC→·AB→＝0AC→∥AB→，即－x＋2y＝02x＋y－2＝0，解得x＝45y＝25，∴OC→＝45，25，OA→＋OB→＝(1,2)，所以OC→·(OA→＋OB→)＝85.]2.已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c的坐标．[解]法一：设c＝(x，y)，则a·c＝(3，－1)·(x，y)＝3x－y，b·c＝(1，3)·(x，y)＝x＋3y，由a·c＝b·c及|c|＝2，得3x－y＝x＋3y，x2＋y2＝2，4解得x＝3＋12，y＝3－12或x＝－3＋12，y＝－3－12，所以c＝3＋12，3－12或c＝－3＋12，－3－12.法二：由于a·b＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b|＝22)的一半，故c＝12(a＋b)＝3＋12，3－12或c＝－12(a＋b)＝－3＋12，－3－12.向量数量积的坐标公式与夹角问题【例2】(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，若a与b垂直，则实数x的值是()A．4B．－4C．1D．－1(2)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ.①若θ＝120°，求λ的值．②要使θ为锐角，求λ的取值范围．[思路探究](1)根据向量垂直的坐标关系求解．(2)①由θ＝120°求cosθ＝a·b|a||b|，建立方程求λ的值．②要使θ为锐角，则cosθ0，且a与b不能共线，建立不等式求λ的取值范围．(1)D[因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，a与b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1.故选D．](2)[解]①由于a＝(1,3)，b＝(2，λ)，则a·b＝2＋3λ，当θ＝120°时，cos120°＝a·b|a||b|＝－12，得2＋3λ10×4＋λ2＝－12，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0，5解得λ＝－12±10313，由于a·b＝2＋3λ0，所以λ－23，得λ＝－12－10313.②由θ为锐角，得cosθ0，且cosθ≠1，∵a·b＝|a||b|·cosθ＞0，∴a·b0，即1×2＋3λ0，解得λ－23.若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6.但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上所述，λ－23且λ≠6.利用向量法求夹角的方法技巧(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：(1)若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)若θ为锐角，则充要条件为a·b0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．(3)若θ为钝角，则充要条件为a·b0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．3.已知a＝(sinα，cosα)，|b|＝2.(1)若向量b在a方向上的投影为－1，求a·b及a与b的夹角θ.(2)若a＋b与b垂直，求|2a－b|.[解](1)由向量数量积的几何意义知，a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，∴a·b＝1·(－1)＝－1.设a与b的夹角θ，θ∈[0，π]，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝－11·2＝－12，∴θ＝2π3.(2)若a＋b与b垂直，∴(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，∴a·b＝－4，∴|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4×－4＋22＝26.向量数量积的坐标公式的综合问题6【例3】在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动．(1)求证：EC→·AD→为定值；(2)求EC→·EM→的最大值．[思路探究](1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值．[解]法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，EC→·AD→＝EC→·BC→＝|EC→||BC→|cos∠BCE＝|BC→|2＝1(定值)．(2)如图，作CN⊥EM，垂足为N，则△EBM∽△CNM，得EMCM＝MBMN，所以EM·MN＝CM·MB＝14，所以EC→·EM→＝|EC→||EM→|cos∠CEN＝|EM→|(|EC→|cos∠CEN)＝|EM→||EN→|＝|EM→|(|EM→|＋|MN→|)＝|EM→|2＋|EM→||MN→|＝|EM→|2＋14≤|AM→|2＋14＝1＋14＋14＝32，所以当点E在点A时，EC→·EM→取得最大值32.法二：(坐标法)以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x∈[0,1],(1)EC→·AD→＝(1－x,1)·(0,1)＝1(定值)．(2)由上述可知，C(1,1)，M1，12，设E(x,0)，x∈[0,1]，则EC→·EM→＝(1－x,1)·1－x，12＝(1－x)2＋12，当x∈[0,1]时，(1－x)2＋12单调递减，当x＝0时，EC→·EM→取得最大值32.7解决向量数量积的最值的方法技巧1“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.2“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1B[如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，所以PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y－322－32，当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值为－32，选B．]5．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．[1,9][分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，8设M(3，b)，N(x,1)，因为|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，所以b＝3－x3，则AN→＝(x,1)，AM→＝3，3－x3，故AM→·AN→＝83x＋1(0≤x≤3)，所以1≤83x＋1≤9，所以AM→·AN→的取值范围是[1,9]．]1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x2＋y2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cosθ＝x